- •Введение
- •Тема 1. Логика высказываний
- •1.1. Понятие высказывания
- •1.2. Логические операции
- •1. Отрицание или инверсия ( – не)
- •Конъюнкция ( ,, ·, логическое и )
- •4. Импликация ( ) “если а, то b”
- •6. Сумма по модулю два
- •7. Штрих Шеффера ( , обратная конъюнкция и – не)
- •8. Стрелка Пирса ( , обратная дизъюнкция или – не )
- •1.3. Булевы функции
- •1.3.1. Некоторые определения из теории множеств
- •1.3.2. Булевы функции
- •1.4. Формулы
- •1.5. Равносильные формулы
- •1.6. Подстановка и замена
- •1.7. Формы представления высказываний
- •1.8. Минимизация сложных высказываний методом Квайна
- •1.9. Полные системы функций
- •1.9.1. Система функций { }
- •1.9.2. Замкнутые классы
- •1.9.3. Функциональная полнота
- •Тема 2. Логические исчисления
- •2.1. Интерпретация формул
- •2.2. Примеры тождественно истинных формул высказываний
- •2.3. Формальные теории
- •Выводимость.
- •2.5. Интерпретация формальных теорий
- •2.6. Исчисление высказываний.
- •2.7. Производные правила вывода
- •2.8. Дедукция
- •2.9. Некоторые теоремы теории £
- •Тема 3. Логика и исчисление предикатов
- •3.1. Предикаты
- •3.2. Исчисление предикатов
- •3.3. Интерпретация
- •3.4. Основные равносильности для предикатов
- •3.5. Приведенная форма представления предикатов
- •Тема 4. Автоматическое доказательство теорем
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Доказательство от противного
- •4.3.Правило резолюции для исчисления высказываний
- •4.4. Правило резолюции для исчисления предикатов
- •4.5. Основные положения мр (выводы)
- •4.6. Логическое программирование
- •Тема 5. Теория алгоритмов
- •5.1. Интуитивное понятие алгоритма
- •5.2. Конкретизация понятия алгоритма
- •5.2.1. Машины Тьюринга
- •5.2.3. Рекурсивные функции
- •5.2.3. Нормальные алгорифмы Маркова
- •5.3. Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •5.3.1. Проблема самоприменимости
- •5.3.1.1. Нумерация мт
- •5.3.1.2. Самоприменимость мт
- •5.3.2. Проблема останова
- •5.3.3. Разрешимые и неразрешимые задачи математики
- •5.4. Характеристики сложности вычислений
- •5.5. Классы сложности задач
- •5.5.1. Р задачи
- •5.5.2. Np задачи
5.2.3. Нормальные алгорифмы Маркова
Алгоритмическая система Маркова строится по тем же принципам, что и МТ, но носит более простой и интуитивно понятный характер.
Нормальные алгорифмы Маркова (НАМ) представляются нормальной схемой подстановок, которая состоит из совокупности подстановок, расположенных в определенном порядке.
Пусть Х – некоторый конечный алфавит, F(X) – слова алфавита, - пустое слово. Если , то выражения и называются формулами подстановки в алфавите Х:
- простая подстановка;
- окончательная подстановка.
Символы → и . не принадлежат Х.
Слова p и q могут быть пустыми.
Строка R входит в строку L, если L имеет вид L1RL2. Подстановка применима к слову, если строка соответствующая левой части подстановки входит в слово. Применение заключается в замене в преобразующем слове левой строки – правой:
Механизм работы НАМ:
Дано преобразуемое слово – цепочка символов фиксированного алфавита и нормальная схема подстановок, содержащая фиксированную последовательность простых и заключительных подстановок.
1) Слово всегда просматривается слева направо. Схема подстановок просматривается, начиная с первой подстановки, и, если подстановку можно применить, то она применяется к самому левому вхождению этой строки в преобразуемое слово.
2) Работа алгоритма заканчивается если:
ни одна из подстановок не применима,
использована заключительная подстановка.
Может возникнуть ситуация, когда процесс не закончится никогда. В этом случае считают, что алгоритм не применим к слову.
Пример.
Х={x,y,z};
Нормальная схема подстановок:
xx y
xy x
yzy x
zz . z
yy x
Преобразуемое слово:
xxxyyyzzz →yxyyyzzz→yxyyzzz →yxyzzz→yxzzz→yxzz
Пример.
X={А,Б,В,Г,…,Я};
Нормальная схема подстановок:
ХК
МР
КАЛОН
РУ.С
Преобразуемое слово:
МУХАМУКАРУКАРУЛОНСЛОН
Пример 9:
X={a,b};
Нормальная схема подстановок:
a→.e
b→b
Преобразуемое слово:
bbbbbb - схема не применима.
Преобразуемое слово:
abab →bab
Пример.
Х={х,у,х-1,у-1};
Нормальная схема подстановок:
х х-1→е
х-1х→е
у у-1→е
у-1у→е
Преобразуемое слово:
ххухуу-1х-1ух→ ххухх-1ух→ ххуух
Пример 10:
Х={x1, …,xn};
Нормальная схема подстановок:
x1→e
x2→e
…
xn→e
Преобразуемое слово переписывается в пустое.
Пусть R и Q нормальные алгорифмы над алфавитом Х и pF(x). Запись означает, что или оба алгорифма R и Q не применимы к слову p, или оба применимы и .
Два алгорифма R и Q называют эквивалентными относительно алфавита Х, если каждый раз, когда pF(x) и хотя бы одно из слов R(p) или Q(p) определено и тоже принадлежит F(x).
Если для всех pF(x) , то R и Q называются полностью эквивалентными.
Пусть X={1}, а . Тогда всякое натуральное число n можно записать в виде слова в алфавите :
Поставим в соответствие вектору (n1, n2, …nk), где n1, n2, …nk – натуральные числа, слово в алфавите вида , которое обозначим . Например, вектору соответствует слово 11111*1*111.
Пусть f: Nk→N – некоторая частичная функция и Rf обозначает алгорифм в алфавите такой, что
тогда и только тогда, когда хотя бы одна из частей равенства определена. При этом считается, что алгорифм Rf не применим к словам отличным от вида .
Функция f называется частично определимой по Маркову, если существует нормальный алгорифм Q над полностью эквивалентный Rf над . Если функция определена полностью, то ее называют просто вычислимой по Маркову.
Теорема: Простейшие функции O(x)=0, S(x)=x+1 и Im(x1,x2,…,xn)=xm вычислимы по Маркову.
Доказательство сводится к построению соответствующих алгорифмов.
1.Функцию O(x)=0 реализует следующий алгорифм R0:
={1,*}, ;
Нормальная схема подстановок:
*→* (1)
α11→ α1 (2)
α1→.1 (3)
е→ α (4)
Преобразуемое слово:
р=111…11.
Тогда по формуле (4) получаем р= α 11…11.
Применим формулу (2) и получим: р= α 11…11→ α 1…11→ α 1.
Применяем формулу (3) и получаем α 1→1.
Так как 1 – это в алфавите Х, то R0 и является искомым алгоритмом.
2. Функцию S(x)=x+1 реализует следующий алгорифм Rs:
={1,*}, ;
Нормальная схема подстановок:
*→* (1)
α1→.11 (2)
е→ α (3)
Преобразуемое слово:
р=111…11.
Тогда по формуле (3) получаем р= α 11…11 (n единиц).
Применим формулу (2) и получим: р= 111…11 (n+1 единица). Так как всякое натуральное число n можно записать в виде слова в алфавите :
, то мы реализовали алгоритм RS(n)=n+1.
Этот алгоритм применим только к тем словам, которые являются натуральными числами.
3. Алгорифм RI имеет более сложную структуру, с ним можно ознакомиться самостоятельно в учебнике «Лекции по дискретной математике», авторы: Капитонова Ю.В. и др.
Теорема: Всякая частично рекурсивная функция частично рекурсивна по Маркову.
Обратная теорема: всякая частично вычислимая по Маркову функция является частично рекурсивной.