- •Введение
- •Тема 1. Логика высказываний
- •1.1. Понятие высказывания
- •1.2. Логические операции
- •1. Отрицание или инверсия ( – не)
- •Конъюнкция ( ,, ·, логическое и )
- •4. Импликация ( ) “если а, то b”
- •6. Сумма по модулю два
- •7. Штрих Шеффера ( , обратная конъюнкция и – не)
- •8. Стрелка Пирса ( , обратная дизъюнкция или – не )
- •1.3. Булевы функции
- •1.3.1. Некоторые определения из теории множеств
- •1.3.2. Булевы функции
- •1.4. Формулы
- •1.5. Равносильные формулы
- •1.6. Подстановка и замена
- •1.7. Формы представления высказываний
- •1.8. Минимизация сложных высказываний методом Квайна
- •1.9. Полные системы функций
- •1.9.1. Система функций { }
- •1.9.2. Замкнутые классы
- •1.9.3. Функциональная полнота
- •Тема 2. Логические исчисления
- •2.1. Интерпретация формул
- •2.2. Примеры тождественно истинных формул высказываний
- •2.3. Формальные теории
- •Выводимость.
- •2.5. Интерпретация формальных теорий
- •2.6. Исчисление высказываний.
- •2.7. Производные правила вывода
- •2.8. Дедукция
- •2.9. Некоторые теоремы теории £
- •Тема 3. Логика и исчисление предикатов
- •3.1. Предикаты
- •3.2. Исчисление предикатов
- •3.3. Интерпретация
- •3.4. Основные равносильности для предикатов
- •3.5. Приведенная форма представления предикатов
- •Тема 4. Автоматическое доказательство теорем
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Доказательство от противного
- •4.3.Правило резолюции для исчисления высказываний
- •4.4. Правило резолюции для исчисления предикатов
- •4.5. Основные положения мр (выводы)
- •4.6. Логическое программирование
- •Тема 5. Теория алгоритмов
- •5.1. Интуитивное понятие алгоритма
- •5.2. Конкретизация понятия алгоритма
- •5.2.1. Машины Тьюринга
- •5.2.3. Рекурсивные функции
- •5.2.3. Нормальные алгорифмы Маркова
- •5.3. Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •5.3.1. Проблема самоприменимости
- •5.3.1.1. Нумерация мт
- •5.3.1.2. Самоприменимость мт
- •5.3.2. Проблема останова
- •5.3.3. Разрешимые и неразрешимые задачи математики
- •5.4. Характеристики сложности вычислений
- •5.5. Классы сложности задач
- •5.5.1. Р задачи
- •5.5.2. Np задачи
4. Импликация ( ) “если а, то b”
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а b ложно только в том случае, когда а истинно, а b – ложно.
a |
b |
a b |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
А называется антецедентом, а b – консеквентом.
5. Эквивалентность (~ )
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а~b истинно, если а истинно и b истинно, или если а ложно и b ложно.
a |
b |
a~b |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения «тогда и только тогда».
6. Сумма по модулю два
a |
b |
a b |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
7. Штрих Шеффера ( , обратная конъюнкция и – не)
a |
b |
a b |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
8. Стрелка Пирса ( , обратная дизъюнкция или – не )
a |
b |
a b |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Используя эти логические операции можно строить сколь угодно сложные высказывания.
Приоритет выполнения операций:
⌐ ~
Пример: Сложное высказывание: «Если вы не пропускаете занятия и успешно занимаетесь, то Вы сдадите экзамен хорошо» можно записать следующим образом. Обозначим:
П – пропускаете занятия;
Y – успешно занимаетесь;
Х – сдадите экзамен хорошо,
тогда все высказывание запишется:
Значение истинности всего выражения будет зависеть от истинности переменных обозначающих простые высказывания.
Пример.
Пусть a=1, b=0, c=0, d=1.
Символы ⌐ ~ называются пропозициональными связками, a, b, c, … и т. д. - пропозициональными переменными. Выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок, называется пропозициональной формой или формулой.
1.3. Булевы функции
1.3.1. Некоторые определения из теории множеств
Множество – фундаментальное неопределяемое понятие. Множество – это совокупность объектов, которые, с одной стороны, различны и отличимы друг от друга, а с другой стороны воспринимаются как единое целое.
Пусть А и В – два множества.
<a,b> - упорядоченная пара, где первый элемент , а второй элемент .
Декартово произведение - это множество пар
Бинарным отношением f из множества А в множество В называется подмножество :
.
Функция - это такое отношение, что из и следует, что x=z, т. е. функциональность – это однозначность.
Пример.
А={1,2,3,4,5}
B={1,4,9,16,25}
={<1,1>, <1,4>, <1,9>, <1,16>, <1,25>, <2,1>, <2,4>, <2,9>, <2,16>, <2,25>,….<3,9>, …. ,<4,16>,…..<5,25>}
f={<1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16>, <5,25>} – это функция, где b=a2.