36. Функціональні ряди. Основні поняття
Ряд
(1),
членами якого є функції
,
визнач. в одній і тій же самій обл. наз.
функціональним рядом. Якщо аргументу
X
надати конкретного значення
,
то одержимо числовий ряд.
Множину X значень аргументу х для яких ф.р.(1) збігається наз. обл. збіжності цього ряду.
Ф.р.
наз рівномірно збіжним на множен. Х,
якщо для як завгодного малого
можна
вказати такий порядковий номер члену
ряду
Ю
що при
виконується нерівність
.
Ознака Веєрштраса:
збіж.ч.р.,
якщо при всіх х є Х, для членів ф.р.(1)
виконується нерівність
,
то аткий ф.р. рівномірно збігається на
обл. Х
37. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду
Степеневі
ряди.
Означення:
Функціональний ряд вигляду
a0+a1x+a2x2+…+anxn+…
називається степеневим рядом, його
загальний член Un(x)=anxn,
а числа а0,а1,а2,...,аn,...
– називають коефіцієнтами степеневого
ряду. Степеневий ряд можна записати як:
Степеневий ряд може мати вигляд: a0+a1(x-с)+a2(x-с)2+…+an(x-с)n+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.
Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд: 1) якщо при х=х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|<|x0|; 2) якщо ряд розбігається при х=х1, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|>|x1|. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х0. Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду.
Зауваження:
На кінцях інтервалу збіжності, тобто в
точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так
і розбігатись. Це питання потребує
спеціального дослілження в кожному
випадку.
38.Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду
Степеневий
ряд
(1), в межах інтервалу(-R;R)
є
рівномірною збіжним тому його можна
почлено інтегрувати та диференціювати
довільне число разів, тобто:
1)
2)
При цьому після інтегрування або диференціювання одержані ряди мають той самий радіус збіжності.
39.Розклад функції у степеневий ряд.
Нехай деяка ф. f(x) визначена і n-раз диференційована в околі т. x=0, також ця ф. має бути представлена степеневим рядом тобто розкладена в степеневий ряд:
Виразимо коефіцієнт степеневий ряд через ф. f(x).
Для цього скористаємось теоремою і знайдемо похідні ф f(x)
Враховуючи що в одержаних рівняннях x=0 ,маємо
Тоді
;
;
;
;
Підставляючи одержані коефіцієнти одержимо ряд:
ряд
Маклорена
40.Розклад функції у ряд Маклорена.
Нехай деяка ф. f(x) визначена і n-раз диференційована в околі т. x=0, також ця ф. має бути представлена степеневим рядом тобто розкладена в степеневий ряд:
Виразимо коефіцієнт степеневий ряд через ф. f(x).
Для цього скористаємось теоремою і знайдемо похідні ф f(x)
Враховуючи що в одержаних рівняннях x=0 ,маємо
Тоді ; ; ; ;
Підставляючи одержані коефіцієнти одержимо ряд:
ряд Маклорена