МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

КРИВОРІЗЬКИЙ КОЛЕДЖ ЕКОНОМІКИ ТА УПРАВЛІННЯ

ДЕРЖАВНОГО ВИЩОГО НАВЧАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

Семінарське заняття № 1

З теми : « Застосування похідної для дослідження та побудови графіків. »

Виконала : Студентка 2 курсу

Групи : ТКД 10 1/9

Солдатенко Анастасія

План

Засвоєння похідної в економіці, дослідження функцій та побудова графіків .

1. Розв`язання економічних задач за допомогою похідної :

• еластичність функції

• граничний продукт

• граничний виторг

• гранична виручка

• граничні витрати

• гранична корисність

• обсяг виробництва

2. Опуклість і угнутість функції. Економічна інтерпретація поняття опуклості функції.

3. Асимптоти функції .

4. Загальна схема дослідження функції .

1. Похідною функції f(x) в точці х0 називається границя відношення приросту Df функції в цій точці до приросту Dx аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Функція f(x), яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називається диференційованою в цьому проміжку.

Позначення похідної для функції y = f(x).

y’, y’x, або f’, f’(x),

ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ (иногда ее называют относительной производной) — предел отношения относительного приращения функции y (зависимой переменной) к относительному приращению независимой мпеременной x когда Δx и Δy→ 0 обозначается символом Ex(y) и выражается следующей формулой:

Грани́чний проду́кт — додатковий обсяг продукції, отриманий від застосування додаткової одиниці ресурсу (кількість інших ресурсів незмінна).

Грани́чний ви́торг — зміна загального виторгу фірми, що походить із продажу однієї додаткової одиниці її продукту; дорівнює зміні загального виторгу, який поділено на зміну кількості проданого продукту.

Предельный доход (англ. marginal revenue), также маржинальный доход, предельная выручка — дополнительный доход, получаемый от продажи дополнительной единицы товара. Предельный доход также характеризуется как доход, полученный от реализации после возмещения переменных затрат. Предельный доход является источником образования прибыли и покрытия постоянных затрат. Предельный доход является промежуточным показателем изменения прибыли и формально высчитывается как производная функции прибыли.

Грани́чна кори́сність (англ. Marginal utility) — додаткова корисність, яку отримує споживач із додаткової одиниці товару або послуги, яку буде втрачено у випадку відмови від цієї одиниці.

2. Опуклість і угнутість

властивість графіку функції у = f(x) (кривій), що полягає в тому, що кожна дуга кривої лежить не вище(не нижче) за свою хорду; у першому випадку графік функції f(x) обернений опуклістю донизу(угнутістю догори) і сама функція називається опуклою(мал. 1, а), в другому - графік обернений угнутістю донизу(опуклістю догори) і функція називається увігнутою(мал. 1, б). Якщо існують похідні f ' (x) і f " (х), то перший випадок має місце за умови, що f " (x) ≥ 0, а другий при f " (x) ≤ 0(в усіх точках даного проміжку). Опуклість(донизу) можна охарактеризувати також тим, що дуга кривої лежить не нижче дотичної, в околиці будь-якої своєї точки(мал. 2, a), а угнутість(донизу) - тим, що дуга кривої лежить не вище за дотичну(мал. 2, б). Аналогічно визначаються В. і ст.

Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.

Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.

3. Асимптоти функції.

Асимптота даної кривої – це така пряма, відстань до якої від змінної точки кривої прямує до нуля по мірі віддалення точки кривої у нескінченість.

Асимптоти є: вертикальні, горизонтальні, похилі.

а) вертикальна асимптота: якщо функція має точки розриву, тобто , та х=а- вертикальна асимптота.

б) горизонтальна асимптота: якщо існує кінцева границя функції при х , якщо ( або ), тоді пряма y=b (або y=с) буде горизонтальною асимптотою.

в) похила асимптота має вигляд y=kx+b, де k= , де b= , якщо вказані границі існують.

Приклад:

Знайти асимптоти функції y= .

а) вертикальна

х=1 – вертикальна асимптота

x=-1 –вертикальна асимптота

б) горизонтальна асимптота

немає.

в) похила асимптота

y=kx+b

k= k=1.

b=

y=x -похила асимптоти.

4.Нехай на відрізку задана неперервна функція графіком якої є деяка лінія. Виникає запитання: як побудувати цей графік? Одним зі способів побудови графіка функції є побудова за точками. При такій побудові графіка на площині будують кілька точок, координати яких задовольняють рівняння а потім ці точки з'єднують суцільною лінією. Зрозуміло, чим більше таких точок буде нанесено на площину, тим точніше лінія, що їх з'єднує, відображатиме графік функції . Але при такому методі побудови графіка не відтворюється реальна поведінка функції. Так, наприклад, нехай графіком функції є суцільна лінія, яка зображена на малюнку 1, а лінія, яка утворюється при з'єднанні семи точок площини X0Y, зображена штриховою лінією. Як бачимо, побудований і реальний графіки однієї і тієї самої функції значно різняться. Отже, перш ніж будувати графік функції, її треба дослідити. Як правило, це слід робити за такою схемою.

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти точки перетину графіка з координатними осями.

Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:

Перша система дає точки перетину з віссю OX, а друга — з віссю ОY.

3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. З'ясування цих питань полегшить побудову графіка, оскільки її можна виконувати не в усій області визначення функції, а лише в певній її частині. Так, якщо — періодична функція з періодом Т >0, то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює Т,а потім цю частину графіка повторити на кожному з відрізків довжини Т. Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі Оу, якщо непарна — то відносно початку координат. Тому достатньо побудувати графік тільки коли а потім симетрично відобразити його і для х < 0.

4) Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область визначення функції є інтервалом (пів інтервалом) або кількома інтервалами (пів інтервалами), то слід знайти граничне значення функції, коли х наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

5) Знайти інтервали монотонності функції.

6) Знайти екстремальні точки функції і побудувати їх на площині.

7) На основі дослідження побудувати графік функції. Для зручності побудови графіка результати дослідження записують у таблицю.

Перед побудовою графіка функції слід вияснити, чи має функція вертикальні, горизонтальні та нахилені асимптоти. Якщо для деякої точки розриву другого роду х2 функції f (х)

lim f(x)= або lim f(x)=

то пряму х = х2 називають вертикальною асимптотою графіка функції f (х).

Приклад:

Побудувати графік функції

f(x)=

1) Область визначення x=( - ).

2) Функція непарна, як f(- )= , графік симетричний відносно початку координат.

3) Функція неперіодична.

4) Точки перетину з осями координат: х=0, у=0.Точка (0,0)- єдина точка перетину з осями координат.

5) Функція неперервна у всій області визначення.

6) Знайдемо асимптоти:

а) точок розриву немає, тому вертикальних асимптот немає.

б)

Графік функцій як завгодно близько підходить до прямої у=1, при х

Отже, у= -горизонтальні асимптоти.

в) y= kx+b

k= -похилої асимптоти немає.

7) f'(x)=( f'(x)>0 –функція зростає.

8) Побудуємо графік