- •1. Означення функції кількох незалежних змінних.
- •2.Границя та неперервність функції кількох змінних
- •3. Частинні прирости та похідні функції кількох змінних
- •4.Повний диференціал функції кількох змінних
- •5.Застосування повного диференціала до наближених обчислень
- •6.Похідна у заданаму напрямку
- •7. Градієнт
- •8.Частинні похідні вищих порядків
- •9.Означення екстремуму функції кількох змінних. Необхідна умова та достатня умова екстремуму
- •10.Дослідження функції двох змінних на екстремум
- •11. Найбільше та найменше значення функції у замкненій множині
- •12. Умовний екстремум
- •13. Задачі диференціювання та інтегрування. Означення первісної. Теорема про множину первісних.
- •14.Невизначений інтеграл та його властивості.
- •15.Інтегрування невизначеного інтеграла заміною змінної
- •16.Інтегрування невизначеного інтегралу частинами
- •17.Інтегрування найпростіших раціональних функцій
- •18. Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- •19.Інтегрування довільної раціональної функції
- •20.Інтегрування тригонометричних функцій
- •21.Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •26. . Властивості невизначеного інтеграла
- •27.Невласні інтеграли з нескінченими множинами інтгруання (першого роду)
- •28.Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду
- •29.Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду)
- •30.Наближене обчислення визначених інтегралів
- •32.Властивості рядів. Збіжність числового ряду
- •33.Умови збіжності додатних рядів
- •34. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
- •35.Абсолютно та умовно збіжні ряди
- •36. Функціональні ряди. Основні поняття
- •37. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду
- •38.Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду
- •39.Розклад функції у степеневий ряд.
- •40.Розклад функції у ряд Маклорена.
- •41. Розклад ф-ції у ряд Тейлора
- •42.Розклад функції у ряд Фур’є
- •47.Теорма Коші про інтегрування та єдиність розв’зку рівняння першого порядку
- •52.Ряд геометричної прогресії. Властивості числових рядів. Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонічний ряд
- •53.Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад деяких елементарних функцій у ряд
- •54. Найб. Та найм. Значення ф. Кількох змінних у замкненій множені.
17.Інтегрування найпростіших раціональних функцій
Відношення двох многочленів називається раціональним дробом. Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж nm, то дріб неправильний. Найпростіші раціональні дроби (4 типи): 1. 2. 3. 4. де k2, kN, D=p2-4q<0
Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:
1) Якщо Qm(x)=(x-a)kgm-k(x), то:
2) Якщо Qm(x)=(x2+px+q)kgm-2k(x), то:
де Аі, Ві, – деякі коефіцієнти, та правильні раціональні дроби.
Методика інтегрування раціональних ф-ій: 1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу. 2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. 3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.
18. Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
1)
2)
3)
Підінтегральна ф-ія після виділення повного квадрата і заміни раціоналізується тригонометричними підстановками.
19.Інтегрування довільної раціональної функції
Означення: Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.
Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж nm, то дріб неправильний.
Найпростіші раціональні дроби (4 типи):
1. 2. 3. 4.
де k2, kN, D=p2-4q<0
Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:
1) Якщо Qm(x)=(x-a)kgm-k(x), то:
2) Якщо Qm(x)=(x2+px+q)kgm-2k(x), то:
де Аі, Ві, – деякі коефіцієнти, та правильні раціональні дроби.
20.Інтегрування тригонометричних функцій
Розглянемо R(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл R(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії R*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.
1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.
2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.
3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.
4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.
5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t. В інтегралах sin2nxcos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня