7. Градієнт

Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P₀=(x₀;y₀) наз. градієнтом функції у цій точці.

За формулою довжини вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:

8.Частинні похідні вищих порядків

Нехай ф. z=f(x;y) має частинні похідні в усіх т. множини D. Візмемо будь-яку точку (x;y)<-D у цій точці існують частинні похідні які залежать від x та y. Якщо ці частинні похідні існують то вони наз. частинними похіними другого порядку і познач. так.

Аналогічно визнач. і познач. частинні похідні третього і вищих порядків.

9.Означення екстремуму функції кількох змінних. Необхідна умова та достатня умова екстремуму

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x₀;y₀) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x₀;y₀) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x₀;y₀), тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x₀;y₀), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причому та а також . Якщо:

1. AC-B²>0 і A<0 тоді (x₀;y₀) точка максимуму

2. AC-B²>0 і A>0 тоді точка мінімуму

3. AC-B²<0 екстремуму немає

4. AC-B²=0

10.Дослідження функції двох змінних на екстремум

Алгоритм дослідження ф. z = f(x;y) на екстремум:

1)Знайти перші частинні похідні

2)Знайти стаціонарні т., тобто т. в яких

3)Знайти частинні похідні другого порядку

4)Обчислити значення частинних похідних другого порядку у стац. т.

5)Для кожної стаціон.т. знайти

6)Зробити висновки на базі теорему про достатню умову

11. Найбільше та найменше значення функції у замкненій множині

Функція, що неперервна на замкненій обмеженій множені D досягає на ній найб. та найм. Значення, завжди, цих значень вона може набувати як в середині замкнутій множені,тобто у її внутрішніх точках, так і на її границі, тобто необхідне спеціальне дослідження граничних точок множини D.

Множина наз. замкненою , якщо вона містить усі свої граничні точки, тобто ті точки в околах яких містиця точки які належать і не належать множені.

Множина наз. Обмеженою , якщо вона повністю містиця в середині кола, достатньо великого радіусу.

Найм.(найб.) значення ф. двох незал. змінних неперервної на деякій замкнутій множені наз. глобальним(абсолютним)екстремумом.

Глобальний екстремум ф. досягає у критичній точці, яка належить цій множені або у граничній точці множини.

Алгоритм знаходження глобального екстремуму:

1)Знайти стац.т. в середині множини

2)Знайти стац.т. на границі множини,для цього за допомогою двох змінних звести до ф. однієї змінної

3)Перевірити т. перетину на границі,якщо такі є

4)Знайти значення ф. в усіх стац.т. в середині, на границі множини та в т. перетину, вибрати серед них найб. та найм. значення.