21.Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при _і­­0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини х_і, ні від вибору точок _і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

22. Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо ф-ія F(x) є якою-небудь первісною від перер. ф. f(x), тобто F’(x)=f(x) для всіх x з проміжком [a;b] то справедлива формула Ньютона:

23.Геометричний зміст визначеного інтегралу

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування.

24.Методи обчислення визначеного інтегралу

1)Підстановка у визначеному інтегралі.Якщо: f(x) – неперервна для x[a;b], а ф. x=(t)та її похідна x’=’(t)неперер. на відрізку [;] при чому , то справедлива рівність

2)Інтегрування частинам у визначеному інтегралі. Якщо ф-ії U=U(x) та V=V(x) мають неперервні похідні для x[a;b], то

25. Властивості визначеного інтеграла

1) Якщо f(x)0 і інтегрована для x[a,b], b>a, то

2) Якщо f(x), g(x) – інтегровані та f(x) g(x) для x[a;b], a<b, то:

3) Якщо f(x) інтегровані на [a;b] такому, що (a<b) то:

4) Якщо f(x) – інтегрована та mf(x)M, для x[a;b], b>a, то

5) Якщо ф-ія f(x) – неперервна для x[a;b], b>a, то знайдеться така точка C [a;b], що:

6)Якщо ф. диферент. В т. xє(a;b) i f(t) неперер. При , то

26. . Властивості невизначеного інтеграла

a)Властивості, що випливають з означ.:

1) похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

2) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

3)

b)Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

4) Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

5) Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо

27.Невласні інтеграли з нескінченими множинами інтгруання (першого роду)

Нехай ф. f(x) визнач. На пром.. [a; ) і інтегрована на будь-якій[a;b],де , тоді якщо існує скінчена границя її наз. невласним інтегралом I роду і познач. ; таким чином з означ.

У цьому випадку інтегр. наз. збіжним, а підінтегр. ф. f(x) інтегрованою на пром. [a; ), якщо границя не існує або нескінченна то інтеграл наз. Також невласним або розбіжним.

Аналогічно визнач. Невласний інтеграл на пром. (- ;b] ;

, де с=const, c є R

28.Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду

1)Якщо на [a; ) ф. f(x) та g(x) неперер. І задовольняють умові то із збіжності інтегр. випливає збіжність інтеграла і із збіжності інтеграла випливає розб.

2)Якщо існує границя , то інтеграли та або одночасно збігаються або розбігаються(гранична ознака порівняння)

3)якщо інтегр. збігається то збігається і інтегр. при чому в цьому випадку він наз. абсолютно збіжним