2. Системи лінійних рівнянь

   1. Основні означення.

Системою – лінійних рівнянь з невідомими називається система вигляду

(6)

Числа біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа - вільними членами системи.

Система рівнянь називається однорідною, якщо вся її вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля. Числа ( називають розв‘язком системи, якщо при підстановці цих чисел замість невідомих усі рівняння системи перетворюються в тотожність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв‘язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв‘язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв‘язок.

Система називається невизначеною, якщо вона має більш, ніж один розвязок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв‘язків. Еквівалентні системи дістають внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони утворюються лише над рядками матриці.

2. Розв‘язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими

Виконаємо елементарні перетворення системи: спочатку помножимо перше рівняння на , а друге – на ( ) , а потім складемо їх. Після цього перше рівняння помножимо на , а друге – на і складемо їх. Дістанемо систему

Запишемо цю систему за допомогою визначників:

Де

Визначник , складений з коефіцієнтів заданої системи, називається визначником системи. Визначники та утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих вільними членами. Тоді рішення системи має вигляд

(7)

Ці формули називаються формулами Крамера.

При розв‘язуванні системи можуть бути такі випадки:

• , тоді система має єдиний розв‘язок.

• , тоді система не має розв‘язків, тобто вона несумісна.

• , тоді система зводиться до одного рівняння і має безліч розв‘язків, тобто є невизначеною.

Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Обчислимо визначники

.

Якщо визначник системи , то система має єдиний розв‘язок, який знаходиться за формулами Крамера

Так само розв‘язуються системи лінійних рівнянь з невідомими (

До систем, у яких число невідомих не дорівнює числу рівнянь, формули Крамера застосувати не можна.

Приклад.

Розв‘язати систему за формулами Крамера:

Складемо та обчислимо визначники:

Тоді

3. Матричний запис системи лінійних рівнянь та їх розв’язування

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими

Введемо матриці

; .

Матрицю , складену з коефіцієнтів системи, називають основною матрицею системи, матрицю – матрицею з невідомих, а матрицю – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правилом множення матриць систему можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею :

Припустимо, що матриця системи має обернену матрицю ; помножимо обидві частини цієї рівності на зліва:

Оскільки і , то

(8)

Ця формула носить назву розв‘язку матричного рівняння.

Треба зауважити, що розв‘язок системи в матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи не вироджена ( тобто, визначник цієї матриці не дорівнює нулю ).

Приклад.

Розв‘язати систему рівнянь матричним засобом:

Згідно означень, маємо

Розглядаючи тему обернена матриця, ми знаходили визначник цієї матриці та обернену до матриці матрицю

За одержаною вище формулою,знаходимо

Отже,