3. Обернена матриця

Нехай – квадратна матриця. Матриця називається оберненою до матриці , якщо виконується умова

.

Квадратна матриця називається виродженою, якщо і не виродженою, якщо .

Теорема. Для існування оберненої матриці необхідно і достатньо, щоб матриця була не виродженою; при цьому

, (5)

де - алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці , тобто

.

Приклад.

Знайти матрицю , обернену до матриці

.

Обчислимо визначник матриці :

Матриця не вироджена, тому обернена матриця знаходиться за наведеною вище формулою (5). Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:

Складемо обернену матрицю

Переконатися, що пропонується зробити самостійно.

4. Ранг матриці.

Рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю,то Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку дорівнюють нулю, або мінорів порядку не існує, тоді

Приклад.

Знайти ранг матриці

Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля, тому Оскільки один з мінорів другого порядку а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю (це можна перевірити ), то

Вказаний метод знаходження рангу не завжди зручний,тому що ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме:

• Переставити місцями два рядки ( стовпці );

• Помножити кожен елемент рядка ( стовпця ) на один і той же самий відмінний від нуля множник;

• Додати до елементів рядка ( стовпця ) відповідні елементи другого рядка ( стовпця ), помножені на одне і те саме число.

Приклад.

Знайти ранг матриці .

Виконуючи елементарні перетворення, знаходимо

{ помножимо елементи першого рядка послідовно на (-3), (-5), (-1) та додамо до другого, третього ті четвертого рядків відповідно} =

{ помножимо елемент першого стовпця послідовно на (-2), (-2) та додамо до елементів другого та третього стовпців; четвертий стовпець перепишемо без змін, а перший стовпець додамо до п‘ятого }=

{ помножимо елементи другого та п‘ятого стовпців на а третього та четвертого на } =

{ помножимо другий рядок на (-1) та додамо до третього та четвертого рядків } =

{ другий стовпець помножимо на (-1) та додамо до третього, четвертого та п‘ятого рядків відповідно }=

{ третій стовпець помножимо на (-1), а потім, помноживши його на (5), додамо до четвертого стовпця}=

{ відкидаючи нульові стовпці та рядки, отримаємо } =

=