2. Матриці

1. Основні означення.

Прямокутна таблиця чисел складена з рядків та стовпців і записана у вигляді

називають матрицею . Коротко матрицю позначають так:

де

- елементи матриці, причому індекс I в елементі позначає номер рядка, а j – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці та позначають .

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називають квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називають її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею – рядком, один стовпець – матрицею – стовпцем. Дві матриці називаються рівними, якщо вони однокових розмірів і мають рівні відповідні елементи.

Нульовою називають матрицю, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагоналі.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною та позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

.

Будь – якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом

det A. Наприклад, якщо

Прямокутна матриця ( визначника не має.

2. Дії над матрицями.

1. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою двох матриць називається матриця . Наприклад,

2. Добутком матриці на число k, ( або числа k на матрицю ) називається матриця . Наприклад,

3. Різниця матриць визначається як сума матриці і матриці , помноженої на (-1):

Справедливі такі властивості операцій:

• - комутативність відносно додавання матриць;

• - асоціативність відносно додавання матриць;

• - роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

• - асоціативність відносно множення чисел;

• - дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;

• - дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.

4. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця A називається узгодженою з матрицею B , якщо кількість стовпців першої матриці Aдорівнює кількості рядків другої матриці B. Якщо ця умова не виконається, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливо.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j - го стовпця матриці B:

; Наприклад, знайти , якщо

Матриця узгоджена з матрицею , тому за означенням маємо

Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники:

.

Для дій 1 – 4 над матрицями виконуються такі властивості:

• 

• 

• 

• 

•