Лінійна алгебра

1. Визначники

   1. Визначники другого і третього порядків

Вирази , та (1)

-( + + (2)

називають відповідно визначниками (детермінантами) другого та третього порядків. Символи називають елементами визначника. Вона можуть бути числами, функціями, алгебраїчними виразами тощо. Положення елемента у визначнику характеризується двома індексами: перший означає номер рядка (зверху вниз ), а другий – номер стовпця (зліва направо ), на перетині яких знаходиться даний елемент.

Елемент у визначнику (1) та у визначнику (2) складають головну діагональ визначника, а елементи та в тих самих визначниках – побічну діагональ. Правило розкриття визначників другого та третього порядків можна сформулювати із формул (1) та (2).

Приклади:

Обчислити визначники:

1. 

2. 

3. 

Сформулюємо властивості визначників.

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпця), то визначник змінить знак.

3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо визначник має два однакових рядка (стовпця), то він дорівнює нулю.

5. Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.

6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) . помножені на одне й те саме число.

2. Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця

Введемо деякі поняття.

Мінором елемента визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення I –го рядка та j – го стовпця. Наприклад, для визначника (2) мінором елемента є такий визначник:

.

лгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, взятий із знаком , тобто

. (3)

Наприклад, якщо , то а .

Тепер сформулюємо теорему про розкладання визначника за елементами рядка (стовпця).

Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-будь рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення

(4)

Приклад.

Обчислити визначник, розкладаючи його за елементами третього рядка.

Той самий результат буде, якщо ми розкриємо визначник за елементами іншого рядка (стовпця).

1.3. Поняття про визначники вищих порядків.

Теорема, яку ми розглянули вище, дає змогу ввести означення визначника довільного порядку. За означенням визначник n го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця0 на їхні алгебраїчні доповнення. Але такий спосіб обчислення громіздкий. Так. Для обчислення визначника четвертого порядку нам треба обчислити чотири визначники третього порядку. Тому на практиці спочатку за допомогою властивостей визначника перетворюють визначник так, щоб у деякому рядку або стовпці всі елементи, крім одного, стали нулями. Розкладаючи тоді визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка, дістанемо тільки один доданок, тому що всі інші доданки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.

Приклад.

Обчислити визначник .

У першому рядку перетворимо всі елементи. Крім першого, на нуль. Для цього, залишаючи перший та другий стовпці без змін, до третього додамо перший, а до четвертого – перший, помножений на (-2). Тоді

.

Розклавши цей визначник за елементами першого рядка,дістанемо

Тепер у другому стовпчику перетворимо всі елементи, крім останнього, на нулі. Для цього перепишемо без змін третій рядок, а потім додамо до третього рядка послідовно другий та перший рядки. Дістанемо