6. Метричні задачі на пряму і площину

Метричні задачі розглядаються в прямокутній системі координат.

1. Знаходження кута між двома прямими у просторі.

Кутом між прямими називається мінімальний кут між їх направляючими векторами.

Нехай прямі мають направляючі вектори ₁ = (α₁,β₁,γ₁), і ₂= (α₂,β₂,γ₂). Тоді із означ.скалярного добутку знаходимо косинус кута між ними:

(46).

Сам кут знайдемо як арккосинус отриманого числа (враховуючи, що кут гострий).

Звідси одразу випливає умова перпендикулярності двох прямих: ₁ ₂ = 0.

2. Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною наз. гострий кут між прямою і її проекцією на площину.

П означ. цей кут –  (рис.28). Нехай пряма а має направляюч. вектор =(α, β, γ), а площина задана р-ням Ax+By+Cz+D=0. Тоді кут  між нормальним вектором площини =(А,В,С) і направляючим вектором прямої = 90⁰– ; або 90⁰+, якщо нормальний вектор направлений вниз (рис.28).

Косинус кута між векторами знаходимо із скалярного добутку: . Враховуючи, що сos(90⁰– φ) = sinφ, сos(90⁰+) = – sinφ, маємо sin = |cos|. Отже, ми отримали ф-лу для знаходження синуса кута між прямою і площиною:

(47)

3. Відстань від точки до прямої у просторі:

Н ехай пряма а задана точкою М₁(x₁,y₁,z₁) і направляючим вектором =(α, β, γ). Потрібно знайти відстань d від т.М₀(x₀,y₀,z₀) до даної прямої а (рис.29).

Відкладемо вектор від точки М₁. Отримаємо вектор = .

Розглянемо паралелограм М₁М₀Q₀Q₁. Ясно, що відстань d від т.М₀ до даної прямої а дорівнює висоті паралелограма М₁М₀Q₀Q₁, яку обчислимо, розділивши площу паралелограма на довжину сторони М₁Q₁, тобто на модуль вектора . Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють цей паралелограм:

S=d | |=|[ , ]|. Знайдемо координати вектора =(x₀-x₁,y₀-y₁,z₀-z₁).

Тоді .

Перейшовши до координат, отримаємо:

d = (48)

Відмітимо, що відстань d можна знайти і як відстань між двома точками: точкою М₀ і її ортогональною проекцією на дану пряму (див. приклад 50).

4. Відстань між мимобіжними прямими.

Р озглянемо мимобіжні прямі а₁, яка проходить через т.М₁(x₁,y₁,z₁), і має направляючий вектор ₁ =(α₁,β₁,γ₁), та а₂, яка проходить через т.М₂(x₂,y₂,z₂) і має направляючий вектор ₂=(α₂,β₂,γ₂) (рис.30). Відкладемо вектор ₂ від т.М_1, тоді вектор = ₂. Розгул. паралелепіпед, побуд. на векторах _{1 , 2}, і . Згідно теор12, об’єм цього паралелепіпеда рівний модулю змішаного добутку векторів _{1 , 2}, та : V=|( ₁, ₂, )|. З іншого боку, об’єм паралелепіпеда можна знайти як добуток площі основи на висоту. (площу основи знаходимо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють паралелограм М₁Q₁P₁N₁, тобто векторів ₁  і ₂):

Отже, V=S d=|[ ₁, ₂]|d= |( ₁, ₂, )|.

Звідки d= (49)

Відмітимо, що відстань між мимобіжними прямими можна знайти й іншим способом, наприклад, як відстань від будь-якої точки однієї прямої до площини, яка проходить через другу пряму, паралельно до першої. Р-ня такої площини отримаємо за двома направляючими векторами і точкою (направляючими векторами площини будуть направляючі вектори даних прямих).

7. Еліпс

Еліпсом наз. множина всіх точок площини координати яких, в деякій прямокутній с-мі корд., задовольняють р-ня: (14) де а  b>0.

З р-ня еліпса маємо: , аналогічно Отже, еліпс – це фігура обмежена прямокутником із сторонами 2а і 2b.

Так як змінні в р-ня еліпса входять лише в другій степені, то еліпс симетричний відносно координатних осей і початку системи координат.

Відмітимо елементи еліпса, які не залежать від орієнтації координатних осей:

1. ч исло а – велика піввісь (2а –велика вісь),

2. число b – мала піввісь (2b – мала вісь),

3. 2c – фокальна відстань (c²=a²-b²),

4.  =  – ексцентриситет (0<<1),

5. точка О(0,0) – центр еліпса,

6. А₁(а,0), А₂(-а,0), В₁(0,b), В₂(0,-b) – вершини еліпса,

7. Точки F₁(с,0) , F₂(-с,0) наз. фокусами,

8. прямі d₁ i d₂, які мають рівняння: x= , наз. директрисами еліпса (не мають спільних точок з еліпсом).

Розгл. довільну т.М, яка належить еліпсу. Відрізки, які сполучають її з фокусами наз. фокальними радіусами т.М (довжини цих відрізків також наз. фокальними радіусами т.М).

Нехай т.М еліпса має координати x, y. Тоді  MF₂  = . Так як т.М належить еліпсу, то її координати задовольняють р-ня еліпса: , звідки y²=b²(1– ). Отже,  MF₂ = = =

= = = = x+a.

Аналогічно міркуючи, отримаємо:  MF₁ = -x+a.

Так як для всіх точок еліпса x < a ,то модулі приймають лише додатні значення, тому:  MF₁= -x+a ,  MF₂= x+a .

Тоді  MF₁ + MF₂ =2a .

Отже, ми отримали геометричне означення еліпса: Еліпсом наз. множина всіх точок площини сума відстаней від яких до двох даних точок (фокусів) є величина постійна (рівна 2а).

Параметричні рівняння еліпса.

Нехай задано еліпс канонічним рівнянням: 

Побуд. в прямокут. с-мі коор. два концентричні кола радіус. a і b, a>b (рис.9).

Проведемо промінь ОК . Нехай він утворює з віссю ОХ кут φ. Точки перетину променя з колами позначимо N i Q. Проведемо через точку N пряму паралельну до oсі OX, а через Q пряму паралельну до OY. В перетині цих прямих отримаємо т.M(x, y). Тоді x=a cos φ, y=b sin φ . Покажемо, що т.M(acos φ, bsin φ) належить еліпсу. Дійсно, її координати задовольняють р-ня: , отже вона належить еліпсу.

Таким чином ми отримали параметричні рівняння еліпса:

x=a cos φ ,

y=b sin φ , де φ – параметр (0 φ <2 ).