40.Геометрический смысл двойного интеграла

Это обьем сложного тела, ограниченного плоскостью.

И так, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (цилиндр), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y. Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

Т еорема: Двойной интеграл равен объёму этого цилиндроида.

Вопрос № 41

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Краевая задача и задача Коши.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных. Эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если независимая переменная одна- обыкновенные Дифференциальные уравнения, если более - дифференциальные уравнения частных производных.

Решение дифференциального уравнения- такая функция у=у(х) , которая при подстановке ее в это уравнение образует его в тождество.

Порядок Дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной.

Интеграл Дифференциального уравнения- решение полученное в неявной форме в виде G (x ; y)=0

Общее решение дифференциального уравнения У=Ф(х,с1,…..Еn)

Частное решение (при подстановке) Задачи:

1. Каши . Все дополнительные условия ставятся в одной точке

2. Краевая. Условия ставятся в разных точках ( как минимум два уравнения)

Вопрос № 42

Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности.

Дифференциальные уравнения первого порядка – те которые могут быть представлены в виде y/=ф(x ; y)

Теорема: Пусть в дифференциальном уравнении функция Ф (х : у) и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости ОХУ

Тогда:

1. Для всякой точки (Хо Уо)множества ? найдется решение у=у(х) удовлетворяющее условию у(Хо)=Уо

2. Если два решения У=У1 (х) и У=У2(х) совпадают хотя бы для одного значения Х=Хо ,т.е. если У1 (Хо)= У2(Хо) то эти решения совпадают для всех значений переменных для которых они определены.

Геометрический смысл: через каждую точку (Хо Уо) множества Т проходит одно и только одна интегральная кривая уравнения (градиент решения)

Вопрос № 43

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Диф-ые уравнения первого прядка называется уравнением с разделяющимся переменным, если оно может быть представлено в виде dy/dx=F(x) g (y) или

M(x) N(y) dx+ P(x) Q(y) dy=0 где F(x) M(x) P(x) – некоторая функция переменной х, g(y) N(y) Q(y) –y

Для решения такого уравнения следует преобразовать его к виду , в котором функция и функция переменной х окажутся в одной части равенства а у в другой затем проинтегрировать обе части.

Вопрос № 44

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения 1 порядка – однородное , если оно может быть представлено в виде У=д (_у_)

Х

Однородная функция У=ф (х,у) – однородная( по ) степени R если для произвольного числа h выполняется

Вопрос № 45

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение имеюшее вид У”+ ф (х)= д(х) -(непрерывные функции от х)

Если функция д(х)=0 , уравнение однородное

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Диф-ое уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид y¹+f(x)y=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции переменной x.

Способ решения: найдем сначала v¹+f(x)v=0. Потом vu¹=g(x).

Решим xy¹-2y=2x⁴.

y¹- 2/х *y=2x³

Пусть y=uv, т.е. y¹=u¹v+uv¹, тогда u¹v+uv¹- 2/х uv=2x³ или u¹v+u(v¹-2/х v)=2x³

Положим v¹- 2/х v =0 или .=v, откуда =2 . Проинтегрируем, найдем частное решение уравнения, например при c=0

|n|v|=2|n|x| и v=x².

При v=x² следует u¹x²=2x³ или =2x

Решая уравнение, получаем u=x²+с

Окончательно имеем y=uv=(x²+c)x²=x⁴+cx²

Вопрос № 46

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. В некоторых случаях решение диф-ого уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух диф-х уравнений первого порядка.

y¹¹=f(x)

решим xy¹¹+y¹=0.

Положим z=y¹. Тогда y¹¹=z¹, и исходное уравнение принимает вид xz¹+z=0. Откуда

= - .

Интегрируем z=c₁/x – возвращаемся к первоначальной функции, y¹=c_1/x или dy=c₁dx/x, решая, получаем y=c₁|n|x|+c_z.

Вопрос № 47

Общее решение однородного линейного диф-ого уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейное диф-ое уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: y¹¹+py¹+gy=v(x), где p,g – некоторые действительные числа

v(x) – некоторая функция

Th. Если y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частные решения уравнения y¹¹+py¹+gy=r(x), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет вид y=c₁y₁+ c₂y₂ для произвольных действительных чисел с₁ и с₂.

Th. – Пусть хар-ое уравнение ^z+p+g=0 уравнения y¹¹+py¹+gy=r(x) имеет действительные корни ₁ и _z, причем ₁≠_z. Тогда общее решение уравнения y¹¹+py¹+gy=r(x) имеет вид y=c₁e^_1x+с_яe^_zx.

Если хар-ое уравнение ^z+p+g=0 имеет один корень , то общее решение уравнение имеет вид

У= С₁ е^2х+с₂хе^2х

Если хар-ое уравнение λ²+рλ+g=0 не имеет корней, то общее решение уравнения имеет вид у=С₁е^λх sin βх + с₂ е^λх cosβх , где λ = - р/2 , β= корень из g – p²/4 , с₁ , с₂ некоторые числа.

Т.к. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

у"+ру`+ gy = r (x) равно сумме общего решения соотв. Однородного уравнения

у"+ру`+gy = 0 частного решения исходного неоднородного уравнения у"+ру` + gy =r(x)

Вопрос № 48

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим некоторые частные уравнения У"+ру`+gу=r(x) является многочленам степени m т.е. имеет вид r(x)=a₀+ a₁x+a₂x²+….+a_mx^m тогда частное решение

U(x)=(c_oc₁x + …..+ c_mx^m) x^k

Пусть первая часть уравнения у"+ру`+gу=r(x) имеет вид r(x)=Ае^ах . Тогда частное решение u(x)=c₀ x^k e ^ax

Пусть первая часть уравнения у"+ру`+gу=r(x) имеет вид r(x)= A cos bx + B sin Bx. Тогда частное решение u(x)=xk (C₀ cos Bx + C₁ Sin Bx)

Замечание. Если правая часть r(x) уравнения у"+ру`+gу=r(x) является суммой некоторых функций т.е. r(x)=r<sub>1</sub>(x)+r<sub>2</sub>(x)+…..+ r<sub>n</sub>(x), то для нахождения частного решения такого уравнения достаточно сложить частные решения u<sub>i</sub> (x) уравнений у"+ру`+gу=r_i(x) где i = 1,2-n т.е. u(x) =U₁(x)+u₂(x)+…..+ u_n(x)