11. Теорема Ферма, Роля, Лагранжа.

1. Теорема Ферма.

Если дифференцированная на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке Х₀ этого промежутка, то производная функции этой точке равна нулю, т.е.

Геометрический смысл: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого в нутрии промежутки Х, касательная к графику параллельна оси абсцисс (Ох).

2. Теорема Роля.

Пусть функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям

1. Непрерывна на отрезке

2. Дифференцируема на интервале (а,в)

3. На концах отрезки принимают равные значение т.е. f(а)=f(в)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю

Геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная будет равна нулю.

Если f(a)=f(в)=0, то можно сформулировать теорему Ролл: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

3. Теорема Лагранжа.

Пусть функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям;

1. непрерывна на отрезке

2. дифференцируема на интервале (а, в)

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

Существует хотя бы одна точка в нутрии отрезка, такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Найдется хотя бы одна точка , в которой касательная к графику f(x) и когда AB, проведенная через концы дуги АВ параллельны.

Следствие: Если производная функции f(x)=0 на некотором промежутке Х, то функция тождественно постоянна на том промежутке.

4. Теорема Коши.

Если функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (а,в) и g(x)=0 на (а, в), то существует точка , такая что

12. Правило Лопиталя.

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

, то

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

1.

2.

3. в некоторой окрестности точки a, тогда существует . При этом теорема верна.

13. Точки Экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

Точка Х₀ – точка максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки Х₀ выполняется неравенство f(x)=g(x)

Точка х называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки Х₁ выполняется неравенство f(x) f(x₁)

Максимум и минимум функции – экстремум функии

Необходимые условия экстремума

Для того, чтобы функция у=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо чтобы ее производная в этой точке равнялось нулю или не существовала.

Достаточное условие

2. Если при переходе через точку х₀ производная (функция) дифференцируемой функции у=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума функции у=f(x), а если с минуса на плюс – минимума.

2. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f’’(x) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f(x), если f’(x₀) отрицательна, то х₀ максимума.