23. Формула Ньютона-Лейбница .
Теорема: Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [а,в] .
Тогда определённый интеграл от ср-ий f(x) на [а,в] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке. = F(b) – F(a)
Алгоритм вычисления: 1. получить первозданную F(x) для подинтегральной ф-ии. f(x) с помощью нахождения неопределённого интеграла.
2. применить формулу (Вычисляя приращение первообразной равное искомому интегралу). Обозначение для приращения первообразной :F(x) = F(d) – F(a)
24. Формулы числительного интеграла .
25. Несобственные интегралы с бесконечными приделами.
Определение:
несобственным интегралом
f(x)dx
от ф-ии f(x)
на полуинтервале[а;+
]
называется предел функции P(t)
при t ->+
f(x)dx = limt+беск ∫а+беск f(x)dx
Если предел, стоящий в правой части равенства существует конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, в негативном случае – расходящийся .
26. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходности.
Определение: Несобственным интегралом от функции у=f(x) на полуинтервале [а,в) называется предел.(функции)
δ->lim0+Sab-8 f(x)dx, δ>0 ; ∫a b f(x)= lim δ->0+ ∫ab-δ f(x)dx
Если предел, стоящий в провой части существует т конечен, то интеграл –сходящийся , а если нет – то расходящийся.
27. Геометрические приложения определённого интеграла.
1.Вычесление площадей плоских фигур.
Пусть у=f(x) – неотрицательна и непрерывна на [а,в], тогда площадь под кривой у=f(x) на [а,в] равна: Sabf(x)dx , т.е. S = Sabf(x)dx
Теорема: пусть на [а,в] заданы непрерывные функции у=f1(x), и у=f2(x) такие, что f2(x)> f1(x). Тогда площадь S, фигуры, заключённой между прямыми у=f1(x) и у=f2(x) вычисляется по формуле: S= Sab(f2(x)- f1(x))dx
2. Вычисление объёмов тел вращении.
Для решения разобьём(фигуру вращения)на отрезки точками а=X0<X1<X3<Xn=b
На каждом отрезке выберем ξi ,тогда Σni=1П f 2(ξi ) ∆xi ;
Vx=limmax/\xi->i=1 Σni=1Пf2(ξi )
3. Вычисление длины дуги кривой.
S=Sba √1+(f’)2dx , где S –длина дуги кривой у=f/x , заключённой между x=a и х=в
4. Вычисление площади поверхности.
Площадь поверхности , образованной вращением вокруг оси Ох кривой у=f(x), заключённой между точками с абциссами х=а и х=в определяется по формуле :
Sx =2П Sba f√ 1+(f’)2 dx .
28. Понятие числового ряда. Основные св-во ряда.
Определение: числовой ряд – бесконечная последовательность чисел U1, U2,..Un …,соединённых знаком сложения.
U1+ U2+…+Un +….=Σ n=1 Un = S
Ряд – сходящийся, если существует конечный придел последовательности его частичных сумм. Limn-> Sn=S
Свойства:
1) Если ряд U1+ U2+…+Un +… сходится и имеет сумму S , то и ряд λu1 + λu2 + λun +…также сходится и имеет сумму λS.
2)Если ряд U1+ U2+…+Un +… и V1+V2+…Vn+… сходятся и имеют сумму S1 и S2 ,то и ряд (U1+ V1)+(U2+V2)+…( Un+ Vn)+… также сходится и имеет сумму S1+ S2
3)Если ряд сходится ,то сходится и ряд, полученный из данного путям отбрасывания конечного числа членов.
4)Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы при n> остаток ряда стремится к нулю. Limn-> in = 0