29. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Необходимый: Если ряд сходится ,то предел его общего члена Un при n-> равен нулю . lim_n-> Un = 0

Если предел общего члена ряда при n-> не равен нулю lim Un ≠0 , то ряд расходится. Но : если lim Un =0 это не значит, что ряд сходится.

Признаки:

1)признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полож. член. Σ _n=1 Un (1) и Σ _n=1 Vn (2), прячёим члены первого ряда не превосходят членов второго , т.е. при n є R ; Un =< Vn

Тогда 1)если сходится ряд (2) ,то сходится и (1)… 2) если расходятся ряд(1), то расходится и ряд (2).

«Эталонные ряды»:

1. геометрический ряд Σ _n=1 aq^n-1 сходятся при |q| <1 и расходится при |q|>=1.

2. гармонический ряд Σ _n=1 1/n расходятся.

3. обобщённый гармонический ряд Σ _n=1 1/n^α = 1+1/2^α+ 1/3^α+…+1/n^α +…

Сходится при α>1 и расходится при α=<1.

2) Предельный признак сравнения

Если Σ _n=1 Un и Σ _n=1 Vn – ряды с полож. член. И существует конечный предел отношения их общих членов Lim_n-> Un\Vn = R≠0, то ряды одновременно либо сходятся ,либо расходятся.

3)Признак Даламбера.

Пусть для ряда Σ _n=1 Un с полож. член. Существует предел отношения (n +1)-го члена и n-му члену. Lim_n-> Un+1/Un = 1 Тогда, если L<1, то ряд сходится, если L<1 то – расходятся, если L=1 то неизвестно.

4)признак коши.

Пусть для ряда Σ _n=1 Un с положительными членами предел корня n-ой степени из общего члена Lim_n-> ⁿ√Un = 1. Если L>1-расходится L<1-сходится L=1-неизвестно.

> Особенности :

1. если Lim_n-> Un+1/Un = или Lim_n-> ⁿ√Un = , то ряд расходится.

2. если Lim_n-> Un+1/Un =L=1 или Lim_n-> ⁿ√Un =1, то неизвестно.

5)Интегральный признак сходимости .

Пусть дан ряд Σ _n=1 Un , члены которого положительны и не возрастают, т.е. U₁>= U₂>=…U_n >=…, а функция f(x), определённая при x>=1 непрерывная и невозрастающая и f(1) = U₁, f(2) =U_{2, …} f(n) = U_n … Тогда для сходимости ряда

Σ _n=1Un необходимо и достаточно чтобы сходился несобственный интеграл

S₁ f(x)dx.

30.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признаки сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

Знакочередующийся ряд – ряд, в котором члены попеременно положительны и отрицательны. U₁+ U₂+U₃…+(-1)^n-1 U_n +… Un>0

Признак Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁>U₂>U₃…>U_n > и предел его общего члена при n-> ; Lim_n-> Un=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена S=< U₁

Знакопеременные ряды – ряды, в которых каждый член может быть на как положительным, так и отрицательным.

Достаточный признак сходимости: Если (сам) ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда |U₁|+ |U₂|+…+|U_n| +…сходится, то сходится и данный ряд.

Ряд- абсолютно сходится : Если сходится как сам ряд ,так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд- условно сходится: Если сам ряд сходится, а ряд, сост. Из абсолютных величин его членов расходится.

32. Степенные ряды. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов. Радиус Сходимости степенного ряда.

Степенные ряды- ряды, членами кот яв-ся ф-ции, в частности степенные.

C₀+C₁X+С₂Х²+...+С_nХⁿ (С_n-коэф степенного ряда).

Т.Абеля.

1)Если степенной ряд сходится при значении Х=Х≠0, то он сходится при том абсолютно, при всех значениях х таких, что |х|<|х₀|

2) Если степенной ряд расходится при х>x_1, то он расходится при всех значениях х таких, что |x|>|x₁|.

Из теор следует, что сущ-ет такое число R≥0, что при |x|>R ряд сходится, а при |x|>R- расходится. R-радиус сходимости. (-R;R)-интервал схо-ти.

R=1/lim(n→∞)ⁿ√|C_n| (коши); R=lim(n→∞)||C_n\C_n+1|.

Свойства степенных рядов. На любом отрезке [a,b] целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), ф-ция f(x) яв-ся непрерывной, а => степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Можно дифференцировать:

f’(x)=С₁+2С₂X+3С₃X²+..+nC_nX^n-1

После этих операций R не меняется.