58. Транспортна задача лінійного програмування. Методи знаходження початкового базисного розв'язку.
Транспортна задача (ТЗ) — це специфічна ЗЛП, що застосовується для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
1. Постановка задачі та її математична модель
Нехай деяку однорідну продукцію, зосереджену в m пунктах Аі в кількості аi (і = 1… m) одиниць, необхідно доставити п споживачам Вj в кількості bj (j = 1…n) одиниць. Відома вартість сij перевезення одиниці продукції від і -го пункту до j -го споживача.
Необхідно скласти такий план перевезень, що дає можливість вивезти всю продукцію, повністю задовольнити потреби споживачів і має мінімальну вартість.
Кількість одиниць продукції, запланованих для перевезення з і -го пункту до j -го споживача, позначимо через хij. Тоді умову задачі можна записати у вигляді наступної таблиці, яку будемо називати матрицею планування.
Пункти |
Споживачі |
Запаси |
|||
B1 |
В2 |
… |
Вn
|
||
А1 |
c11 x11 |
c12 x12 |
… |
c1n x1n |
a1 |
A2 |
c21 x21 |
c22 x22 |
… |
c2n x2n |
a2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
cm1 xm1 |
cm2 xm2 |
… |
cmn xmn |
am |
Потреби |
b1 |
b2 |
… |
bn |
|
Складемо математичну модель задачі. Оскільки з і -го пункту до і -го споживача для перевезення заплановано хі} одиниць продукції, то вартість перевезення становить сij хij. Тоді вартість усього плану перевезень можна подати у вигляді цільової функції
F = с11х11 + с12х12 +... + с1nх1n +... + сm1хm1 +... + сmnхmn. (6.1)
Систему обмежень отримуємо з таких умов задачі:
а) вся продукція повинна бути вивезена, тобто
(6.2)
б) всі потреби мають бути задоволені, тобто
(6.3)
Таким чином, математична модель транспортної задачі набуває такого вигляду: знайти найменше значення лінійної функції (6.1) при обмеженнях (6.2)–(6.3) і при
xij>0 (i=1..m, j=1..n) (6.4)
Якщо в ТЗ загальна кількість продукції постачальників рівна загальному попиту всіх споживачів, тобто
(6.5)
то таку ТЗ називають збалансованою, або закритою. Якщо ж така умова не виконується, то ТЗ називають незбалансованою, або відкритою.
Планом ТЗ називають будь-який невід'ємний розв'язок системи обмежень (6.2)–(6.4) ТЗ, який позначають матрицею
X=(xij) (i=1..m, j=1..n)
Оптимальним планом ТЗ називають матрицю X*=(x*ij) (i=1..m, j=1..n), яка задовольняє системі обмежень (6.2)–(6.4)
і для якої цільова функція (6.1) набуває найменшого значення. Опорний план ТЗ називається невиродженим, якщо в матриці планування (в таблиці ТЗ) додатних хij є m+n–1, а решта дорівнюють нулю.
Якщо ж у матриці планування заповнених клітинок менше, як m+n–1, то опорний план називають виродженим.