28. Численное дифференцирование .

 Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

Пусть функция задана в двух точках и ее значения

Посстроим интерполяционный многочлен первой степени

Производная равна

Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

(1)

Величина называется первой разностной производной.

Пусть задана в трех точках

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке она равна

Получаем приближенную формулу

(2)

Величина называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

получаем приближенную формулу.

(3)

Величина называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств:

Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.

Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

29. Елементарні булеві функції і цифрові автомати. Типи булєвих функцій

Визначення: У булєвої алгебрі з множини булєвих функцій від n перемінних f(x₁, x₂,..., x_n) потужності 2^{2^n} виділяються п'ять типів булєвих функцій:

1. Функції, що зберігають константу «0», тобто функції, на нульових наборах аргументів приймаючі нульові значення:

f(x₁, x₂,..., x_n)f(0, 0,..., 0)=0;

Приклад: f(x₁, x₂)=x₁x₂f(0, 0)=0.

2. Функції, що зберігають константу «1» ,тобто функції, на одиничних наборах аргументів приймаючі одиничні значення:

f(x₁, x₂,..., x_n)f(1, 1,..., 1)=1;

Приклад: f(x₁, x₂)=x₁x₂ f(1, 1)=1.

2. Самоподвійнї функції, що приймають протилежні значення на будь-яких двох протилежних наборах:

Приклад: f(x)=xf(0)=1, f(1)=0.

2. Лінійні функції, що представляються в алгебрі Жегалкіна канонічним багаточленом, не утримуючим добутків перемінних:

f(x₁, x₂,..., x_n)=a₀ a₁x₁a₂x₂...a_nx_n,

де а₀, а₁, а₂,..., а_n – константи, що приймають значення 0 чи 1

Приклад: f(x)=1 x₁ x₂

2. Монотонні функції, що приймають для будь-яких двох упорядкованих наборів аргументів x₁₁, x₁₂,..., x_1n і x₂₁, x₂₂,..., x_2n, де x₁₁, x₁₂,..., x_1nx₂₁, x₂₂,.., x_2n також упорядковані значення, тобто f(x₁₁, x₁₂,..., x_1n)f(x₂₁, x₂₂,..., x_2n).

Приклад: f₁(x₁, x₂)=x₁x₂, f₂(x₁, x₂)=x₁x₂, f₃(x₁, x₂)=x₂

<x₁, x₂> f₁: f₂: f₃:

<0, 0> 0 0 0

<0, 1> 1 0 1

<1, 0> 1 0 0

<1, 1> 1 1 1

Визначення: Система булевих функцій називається функціонально повнотою, якщо суперпозиція цих функцій дозволяє одержати будь-як функцію з множини булевих функцій.

Приклад: Система функцій {, ,  } є функціонально повною, алє система функцій {, } не функціонально повна.

Якщо у функціонально повній системі є функції константи «0» чи константи «1», то вона ослаблено функціонально повна. Функціонально повна система функцій утворює базис у логічному просторі.

Приклад: Система функцій {, }, що поповнена константою одиниці, тобто {{, } 1}, ослаблено функціонально повна.

Визначення: Система булевих функцій називається мінімально повним базисом, якщо видалення з її будь-якої функції перетворює цю систему в неповну.

Приклад: Мінімально повний базис є {,  }, алє система {, ,  } не є мінімально повним базисом.

Визначення: Усяка сукупність функцій алгебри логіки, замкнута щодо суперпозиції, тобто така, що будь-яка суперпозиція функцій із сукупності знову породжує функцію, що належить цієї ж сукупності, називається функціонально замкнутим класом.

Функціонально замкнуті класи, відмінні від порожнього класу і сукупності всіх можливих булєвих функцій, називаються власними функціонально замкнутими класами. Власний функціонально замкнутий клас називається попередповним, якщо він не міститься ні в якому функціонально замкнутому класі відмінному від даного класу і класу всіх можливих булєвих функцій.

Приклад: Система функцій, що зберігають одиницю, є функціонально замкнутим класом, система монотонно спадаючих функцій не є функціонально замкнутим класом. Перша система є попередповною.

Теорема про функціональну повноту(критерій Поста): Для того, щоб система булєвих функцій була повної необхідно і досить, щоб вона включала хоча б одну функцію, що не зберігає константу «0», що не зберігає константу «1», несамоподвійну, нелінійну і немонотонну функцію.

Теорему варто розуміти так, що та сама функція може представляти у функціонально повній системі одне чи кілька необхідних властивостей, якщо вона має ці властивості.

Приклад: Властивості елементарних булєвих функцій від двох перемінних з позицій функціональної повноти.

Таблиця 15.1.

Булєва функція	Форму-ла	Несохр. ”0”	Несохр. ”1”	Несамо-двойств.	Нели-нейна	Немо-нотон
Константа “0”	0		+	+
Константа “1”	1	+		+
Заперечення	 x	+	+			+
Конъюнкция	x1x2			+	+
Диз'юнкція	x1x2			+	+
Сума по модулі “2”	x1x2		+	+		+
Штрих Шеффера	x1x2	+	+	+	+	+
Стрілка Пірса	x1x2	+	+	+	+	+

З таблиці видно, що системи функцій {кон'юнкція, заперечення}, {диз'юнкція, заперечення}, {штрих Шеффера}, {стрілка Пірса} задовольняють теоремі про функціональну повноту. Система функцій    утворить так називаний булев базіс.

Логічні (перемикальні) схеми

У якості першої елементної бази для реалізації побудови булєвих функцій використовувалися реле (контактні схеми), що виконували роль ключа, що може бути включений, або виключений. Таким чином, реле має стільки ж станів, скільки і булєва функція (перемінна) - відсутність струму і проходження струму.

Нормально замкнуті контакти реле реалізують функцію інверсії, нормально розімкнуті - повторення. Логічні функції кон'юнкції і диз'юнкції утворяться відповідно послідовним і рівнобіжним з'єднанням реле між собою.

Реле утворять функціонально повну систему, отже, з їхньою допомогою можна реалізувати будь-яку булеву функцію.

Однак, для реалізації булєвих функцій уже тривалий час розробляються і використовуються логічні елементи, що є звичайно напівпровідниковими приладами, виконаними по субмікронній технології. Їхні входи відповідають булєвим перемінним, виходи - реалізованої функції. Для позначення логічних елементів використовують прямокутники. У поле прямокутника (елемента) указується та операція, що він реалізує. Подібно суперпозиції булєвих функцій логічні схеми виходять з'єднанням логічних елементів.