5.3 Сплайн-интегрирование

. . .

. . .

Решение задачи заключается в построении кубического сплайна и вычисления интеграла с его помощью.

Исходные данные:

Число интервалов разбиения отрезка:

Шаг:

Зададимся опорными точками:

Производная функции в нулевой опорной точке:

Вычисление коэффициентов сплайна:

Частичный интеграл:

Вычисление определенного интеграла с

помощью стандартной функции Mathcad

Погрешность

Вычисление значений кубического сплайна:

Параболический сплайн:

Высичисляем интеграл от исходной функции с

помощью параболичеческого сплайна:

Погрешность

Погрешность

т.к коэфф-ы одинаковы, значит сплайн апроксимация имеет хорошие результаты

Полученный результат отличается от истинного значения на 0.0006, исходя из этого, мы можем сделать вывод, что для данной функции метод сплайн-интегрирования подходит. Этот метод интегрирования дает высокую точность результатов и малую погрешность. Это обеспечиваются учетом граничных условий на стыках интервалов.

6. Нахождение численных значений производных функций численным методом

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y = f(x).Возможно, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное её дифференцирование затруднено. В этих случаях обычно используют приближенные численные методы дифференцирования функций.

Идея всех методов численного дифференцирования функций сводится к замене исходной функции f(x) некоторой функцией P(x), её интерполирующей (чаще всего полиномом или сплайном). Затем полагают: f '(x) = P'(x).

Решение задачи сводится к замене исходной функции f(x) некоторой функцией P(x), ее интерполирующей.

Исходные данные:

Rx - погрешность в точке x

При дифференцировании функции мы получили значительную погрешность. Точно значение практически невозможно получить из-за того, что приближение функции не гарантирует приближение ее производной.