5.2 Метод Симпсона

Для этого метода в качестве функции, с помощью которой осуществляется приближение исходной функции на частичных отрезках интегрирования, выбрана парабола.

Интегрирование функции f(x) по правилу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функции f(x) некоторой

кусочно-линейной функцией (после разбиения общего интервала интегрирования на множество отрезков, на каждом из которых функция заменяется прямой линией), от которой и вычисляется приближенное значение искомого интеграла.

Рис. 5.4. Зависимость суммарной ошибки (округление и ограничения) от количества интервалов интегрирования

Ошибка метода в этом случае определяется грубостью предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функцию f(x) приближать на отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка метода интегрирования должна уменьшиться. Для правила Симпсона в качестве функции, с помощью которой осуществляется приближение исходной функции на частичных отрезках интегрирования, выбрана парабола.

Рис. 5.5. Геометрическое представление правила Симпсона на [x₀ , x₂]

Отрезок [а,b] разобьем на 2n равных частей. Рассмотрим частичный отрезок интегрирования [x₀ , x₂] (см. рис. 5.5.).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

Исходные данные:

Число интервалов разбиения отрезка:

Вычисление определенного интеграла с

помощью стандартной функции Mathcad

Шаг:

Функция для вычисления определенного интеграла методом Симпсона:

остаточный член формулы Симпсона

Ошибка при вычислении:

Тогда наименьшая суммарная погрешность получается при

Если сравнивать значение с предыдущим методом, то вычисление определенного интеграла по методу Симпсона намного точнее. Отклонение от истинного значения составляет около 0.001.

Выше приведен остаточный член многочлена Симпсона, так называемое отклонение от истинного значения. Как и в предыдущем методе, значение больше, чем нужно. Хоть этот метод намного точнее, но тоже дает свою погрешность в вычислении.

Сравнивая метод трапеций и метод Симпсона по графам вычислительного процесса, мы можем сказать, что погрешность метода Симпсона значительно меньше, погрешности метода трапеций. Следовательно, он является более точным для интегрирования исходной функции.