3.Предварительный анализ функции

Функция является гиперболической. Особенностью функции является ее аргумент и деление ее на , из-за которых функция получается смещенной влево, несимметричной и теряет свою периодичность. Как и обычные периодические функции, функция повторяет свои значения на постоянно уменьшающемся интервале.

4. Приближение функции f(X) различными методами.

4.1 Метод наименьших квадратов

Как известно, любую функцию можно с достаточной степенью точности заменить интерполяционным многочленом. Однако, чтобы добиться хорошего совпадения может потребоваться рассмотрение многочлена сравнительно высокой степени. Такой многочлен ввиду его громоздкости может быть неудобным в обращении, а коэффициенты такого многочлена могут и не иметь физического смысла. Последнее имеет место в том случае, когда значение функции получены в результате проведения совокупности измерений, каждое из которых характеризуется ошибкой измерения. В этом случае повышение степени интерполяционного полинома может быть лишено практического смысла.

Вне зависимости от того, известен или нет характер функциональной зависимости между переменными х и у, нередко ставиться задача нахождения наиболее простой формулы, позволяющей производить интерполирование (приближение) с заданной точностью.

Наиболее часто зависимость у от х имеет вид многочлена

Задача сводится к нахождению наиболее вероятных значений коэффициентов

по результатам n наблюдений (измерений) при n>>m.

Как известно, в этом случае получается обычная задача способа (метода) наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (М.н.к) - метод вычисления искомых параметров и поправок в искаженные случайными погрешностями измерения, при котором минимизируется взвешенная сумма квадратов этих поправок. Для неравноточных измерений должны быть определены веса, учитывающие точность измерений. Для равноточных веса принимают равными 1. Обязательным условием М.н.к. является наличие избыточных измерений.

Согласно принципу наименьших квадратов, сформулированным Гауссом, наивероятнейшими значениями параметров ai будут такие, при которых сумма квадратов εi отклонений будет наименьшей:

Рассматривая здесь как независимые переменные, и приравнивая к нулю частные производные от левой части (2) по этим переменным, получим в точности (m+1) уравнение с (m+1) неизвестными вида:

В тех случаях, когда значения х являются точными и заданы с постоянным шагом , возможно упрощение системы (3) на основе введения нормированной величины, принимающей целочисленные значения.

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных, принимает наименьшее значение.

Исходные данные:

Отрезок:

Число узлов интерполирования:

Начальная степень полинома:

Шаг:

Промежуточные точки:

Величина остатков велика, поэтому будем искать полином первой степени (все расчеты аналогичны). Величина остатков 1, 2, 3, 4 полиномов также велики. Делаем перерасчет для каждого полинома.

Степень полинома:

Степень полинома:

Степень полинома:

Степень полинома:

Степень полинома:

Рассматривая графики, мы можем сказать, что с увеличением степени полинома, что разница между истинными значениями функции и функции, построенной по методу наименьших квадратов, уменьшается. При 5 степени полинома, графики практически идентичны. Наибольшее отклонение наблюдается только вначале, далее функции практически совпадают.

Квадратичное отклонение для различных m:

Сформируем матрицу остатков:

С учетом отклонения мы видим, что метод наименьших квадратов дал хорошие результаты. Разница между истинными значениями функции и значениями, полученными по МНК, отличается в среднем на 0.01 и увеличивается к концу отрезка.