Методи розв’язання системи лінійних рівнянь (слр). Прямі методи слр.

(1) A=

X= f= Ax=f (2)

Серед відомих прямих методів розв’язок існує розв’язок х. Для відшуканих розв’язків за методом Крамера нам потрібно виконати порядку m! Арифметичних дій, тоді ж як при використанні метода Гауса менше 0(м²). Тому,при достатньо великих м спосіб,який базується на обчисленні визначника,є набагато складнішим, ніж метод Гауса, тому що для розв’язання задач на ЕОМ широко використовують метод Гауса у всіх його модифікаціях.

Для розв’язання системи (1) методи можемо поділити на дві групи:

1. Прямі.

2. Ітераційні.

У прямих методах розв’язок системи (1) шукається в скінченному числі кроків,причому одержаний точний розв’язок системи,якщо всі ітерації виконані точно у зв’язку з заокругленням чисел. Про точний розв’язок на ЕОМ можемо говорити,якщо нехтувати похибками заокруглень. Систему методом Гауса може бути розв’язано до 100-го порядку.

Ітераційні методи полягають в тому,що розв'язок х системи (1) буде знаходитись як послідовних наближень,де n - номер ітерації.

Як правило, за скінченне число кроків дана границя не одержується,тому задається достатньо мале число ε і обчислення будуть проводитися або ж може задаватися наперед кількість крокі і тоді при досягнення кількості кроків обчислювальний процес не переривається і одержаний розв’язок на останній ітерації приймається за найближче значення розв’язку системи (1).

Метод Гауса чисельного розв’язку слр.

Ідея методу полягає в наступному: послідовно викидаються із системи змінні . Припускаємо,що Тоді поділимо перше рівняння системи (1) на матимемо:

₁ (3)

j=2,…,n y₁=

Всі інші рівняння можуть бути записані (4) i=1,…,n

Рівняння (3) множимо на і додаємо до кожного рівняння (4) і тоді ми одержимо:

(5)

(6)

+ I,j=2,…,m

Перехід від (1) до (5) здійснюється за допомогою формули (6

Розглянемо укорочену систему із системи (5)

(7)

Якщо у (7) тоді перше рівняння (7) ділимо на і виключаємо всіх невідомих.

і=3,…,m

По аналогії робиться перетворення виключаючи невідомі x₃,…,x_m в результаті чого одержимо систему (8):

(8)

Матриця,яка відповідає даній системі з нулями вище головної діагоналі система складає прямий хід метода Гауса. Тоді обернений хід методу Гауса може бути записаний:

i=m-1,…,1

Вивід розрахункових формул

Ми припускаємо,що у нас є виконано к-1 крок метода Гауса.

(9)

Розглянемо к-ве рівняння системи (9) і припускаємо, шо .Поділимо к-ве рівняння системи на цей елемент. В результаті чого ми одержимо рівняння:

(10)

; j=k+1,…,m; ;

Якщо помножити рівняння (10) на - (i=k+1,…,m) і додати до рівняння системи (9), починаючи з к+1 до m-го ,тоді одержимо

I,j=k+1,…,m

Тоді послідовність операцій у методі Гауса буде виконуватись за наступним правилом:

П1: I,j=1,…,m (11)

П2: j=k+1,…,m (12) k=1,…,m

П3: j=1,…,m

П4: i=1,…,m (14)

П1-П4 складає прямий хід методу Гауса.