Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа

У випадку коли заміняємо на .

̶ похибка інтерполювання

̶ залишковий член інтерполяційного многочлена

Оцінимо дану похибку в

Для цього ми введемо в розгляд функцію:

(1)

Де k-const

(2)

Необхідно оцінити в ,

̶ який не э вузлом інтерполяції

k в (1) будемо шукати з припущення, що для тієї точки, для якої проводимо оцінку.

;

має Неперервну похідну на проміжку [a,b], а функція має менше ніж нули на [a,b].

має не менше ніж ”0” на [a,b].

має не менше ніж нулів.

має хоча б 1 нуль.

Ǝ

тоді похибку інтерполяції можемо представити у вигляді:

(3)

З (3) можемо зробити висновок, що інтерполяційний многочлен Ньютона є точним для многочлена степеня n.

(4)

Мінімізація похибки інтерполяційного многочлена в конкретних випадках ми можемо оцінити верхню межу n+1 похідної.

Величина похибки (4) буде залежати від величини.

Max| | ̶ мінімізація такої величини відбувається за допомогою вибору вузлів.

Ця задача розв’язуеться за допомогою многочлена Чебешева 1-го роду.

(5)

Тоді за вузли інтерполяції доцільно вибрати корені многочлена виду (5),

, (6)

Тоді ,

Тоді (4): (7)

Інтерполяції за допомогою раціональних функцій

Деколи нам зручніше будувати наближену функцію за допомогою раціональних або дробово-раціональних функцій.

Нехай функція задана своїми значеннями у вузлах і потрібно побудувати функцію:

(1)

Де числа є додатніми і виконується:

(2)

І повинна виконуватись умова близькості (2).

Рівність (2) представляє собою СЛАР з змінними .

Будемо вимагати, щоб кількість рівнянь системи співпадала з кількістю невідомих, тобто, щоб ;

Тоді отримаємо систему рівнянь:

(3)

,

Із системи (3) нам потрібно знайти коефіцієнти , де ,a .

Система (3) э достатньо громосткою, тому досить часто використовують дробово-лінійні інтерполяції, де інтерполяційний многочлен знаходиться за формулою:

, (4)

Припустимо, що функція задана у трьох вузлах інтерполяції:

Виконується умова близькості :

; ; ;

Ця задача є частиггим випадком системи (3) при , то для визначення коефіцієнта побудуємо систему виду (3).

; ;

Знайдемо розв’язок даної системи у явному вигляді:

Введемо у розгляд позначення:

; ;

; ;

; ;

Якщо , то з останнього рівняння можемо знайти .

Знайшовши , підставимо у рівність (4).

Зауваження. Будуючи інтерполяційний многочлен за допомогою раціональних функцій необхідно слідкувати, щоб знаменник виразу (1) або (4) не перетворився в 0.

Іншим моментом є вибір таких вузлів інтерполяції, при якому чисельник виразу (1) ділиться без остачі на знаменник. У цьому випадку дробово-лінійна функція перетвориться у константу.

Ці випадки можуть бути виключеними при розв’язуванні системи (3).

Інтерполювання періодичних функцій

Нехай нам необхідно деяку функцію , яка визначена на проміжку і є періодичною на цьому проміжку з періодами. Побудуємо деяку інтерполяційну функцію, яка у вузлах інтерполяцій на проміжку набуває тих самих значень, що і функція .

Так, як функція є періодичною функцією, то інтерполяційний многочлен будемо шукати у вигляді тригонометричного многочлена.

За систему функцій виберемо систему тригонометричних функцій, які періодичними на проміжку і

Можна показати, що на проміжку система функцій:

при є системою функцій Чебешева, тобто ⍱ тригонометричного многочлена вигляду

на проміжку має, більше ніж додатніх коренів. Тому для кожної визначеної на проміжку періодичної функції з періодом при ⍱ наборі і із проміжку тригоносетричний многочлен для функції , який на заданій системі вузлі, для якого викон , і такий многочлен має наступний вигляд:

, де

Тому для такого вибору , буде виконуватись умова близькості , .