7.2. Обчислення інтегралів за допомогою лишків

Обчислення комплексних інтегралів по замкненому кон­туру. За допомогою лишків можна обчислювати інтеграли по замкненому контуру від однозначних функцій, що не містять особливостей на контурі, або від однозначних гілок багатозначних функцій, якщо всередині контуру відсутні точки розгалуження.

Приклад 1. Обчислити комплексний інтеграл

,

де а) ; б) .

Розв’язання. 

Підінтегральна функція має три особливі точки (самостійно переконайтеся в цьому і дослідіть їх характер): – полюс третього порядку, – простий полюс, – істотно особлива точка ((рис. 32).

а ) Усередині кола розміщена тільки одна особлива точка – полюс третього порядку. За основною теоремою про лишки

;

;

.

б) Перший спосіб. Усередині кола розміщені дві особливі точки – полюс третього порядку і – простий полюс. За основною теоремою про лишки

;

;

.

Другий спосіб. Зовні кола розміщена тільки одна особлива точка – істотно особлива. За наслідком 2 із основної теореми про лишки

.

Розвинемо підінтегральну функцію в ряд Лорана:

;

;

.

Звідси

; .

Тоді

.

Обчислення дійсних інтегралів за допомогою переходу до комплексних інтегралів. Звичайно, контур інтегрування ви­би­рають так, щоб інтеграл по деякій частині контуру при необмеженому його розширенні перетворювався в заданий дійсний ін­теграл, а інтеграл по частині, що залишилася, прямував до нуля.

Лема (лема Жордана). Нехай – додатне число і – півколо , що лежить в області – верхній півплощині (рис. 33). Якщо функція – аналітична в області за винятком скінчен­ного числа ізольованих особливих точок і прямує до нуля в цій області, коли , тоді

.

Н аслідок. Нехай функція дійс­ної змінної неперервна на всій дійсній осі , а відповідна функція комплексної змінної задовольняє лемі Жордана, тоді

.

Приклад 2. Обчислити дійсний невласний інтеграл

.

Розв’язання. Підінтегральна функція не­пе­рервна на дійсній осі, а відповідна комплексна функція аналітична у верхній півплощині за винятком однієї особливої точки – полюса другого порядку. Крім того, при . Знайдемо лишок:

.

Тоді за наслідком леми Жордана (при )

.

Приклад 3. Обчислити дійсний невласний інтеграл

.

Розв’язання. Застосуємо заміну .

Відповідна комплексна функція у верх­ній півплощині має одну особливу точку – простий по­люс. Знайдемо лишок:

.

Тоді, виділяючи дійсну частину, за наслідком леми Жордана отримаємо

.

Зауваження. Інколи зручно формувати контур інтегрування у вигляді прямокутника чи криволінійного трикутника.

7.3. Функції від матриці та їх обчислення за допомогою лишків

Операції диференціювання та інтегрування матриці здійснюються поелементно

;

де – матриця-функція комплексного аргументу ; – розмір матриці; .

Нехай – довільна квадратна матриця -го порядку, – деяка функція комплексного аргументу. Цю функцію можна задати інтегралом Коші

.

Визначимо відповідну функцію від матриці аналогічною формулою

,

де – довільний контур, що охоплює всі власні числа матриці .

Зауваження 1. Як правило, інтеграл від матриці обчислюється за допомогою лишків. Наприклад, для діагональної матриці :

;

,

оскільки

.

Зауваження 2. Відомі з лінійної алгебри означення поширених функції від матриці не суперечать наведеному. Розглянемо, наприклад, матричний многочлен.

Нехай – звичайний многочлен. За прийнятим означенням матричний многочлен задається рівністю

.

При розвинемо підінтегральну функцію в збіжний ряд за степенями матриці і проінтегруємо його почленно:

;

.

Отриманий вираз співпадає з означенням матричного многочлена, прийнятим в лінійній алгебрі.