7. Лишки та їх застосування

7.1. Поняття лишку. Основна теорема про лишки

Нехай – ізольована особлива точка функції , а – довільний контур, що охоплює цю єдину особливу точку і повністю лежить в області аналітичності даної функції (всередині контуру, окрім точки , і на самому контурі функція аналітична). Лишком функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число

,

де обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки.

Інтегруючи почленно ряд Лорана, можна одержати:

а)    – у скінченній точці .

Тобто лишок функції в скінченній ізольованій особливій точці дорівнює коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

б)    – у нескінченно віддаленій точці , оскільки додатному обходу для цієї точки відповідає рух за годинниковою стрілкою.

Тобто лишок функції в нескінченно віддаленій ізольованій особливій точці дорівнює мінус коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

Зауваження 1. З означення лишку випливає, що лишок функції в скінченній правильній чи усувній особливій точці дорівнює нулю (ряд Лорана не містить від’ємних степенів).

Зауваження 2. Лишок функції в нескінченно віддаленій точці може бути відмінним від нуля й у випадку, коли дана функція має скінченну границю в цій точці , і навіть при її аналітичності в . При цьому

.

Якщо – простий полюс функції , то

.

Зауваження 3. Якщо функція має вигляд дробу , і – простий полюс цієї функції , то

.

Якщо – полюс -го порядку функції , то

.

Зауваження 4. Якщо – істотно особлива точка, то для знаходження лишку слід безпосередньо скористатися розвиненням функції в ряд Лорана і виділити коефіцієнт .

Теорема 1 (основна теорема про лишки).  

Нехай функція аналітична в області з межею за винятком скінчен­ного числа внутрішніх ізольованих особливих точок і неперервна на межі . Тоді інтеграл по контуру дорівнює сумі лишків у всіх внутрішніх ізольованих особливих точках

,

де обхід межі здійснюється в додатному напрямі.

Доведення. Охопимо кожну особливу точку окремим колом так, щоб ці кола не перетиналися одне з одним і з межею . В одержаній багатозв’язній області, що обмежена контурами , , , , функція буде аналітичною. За теоремою Коші (для складеного контуру) справедливо

.

Наслідок 1. Якщо функція аналітична в комплексній площині за винятком скінчен­ного числа ізольованих особливих точок , то сума всіх лишків, включаючи лишок у нескінченно віддаленій точці, дорівнює нулю

.

Наслідок 2. Нехай функція аналітична в комплексній площині. Якщо всередині області з межею знаходяться ізольовані особливі точки , а зовні неї – ізольовані особливі точки , причому , тоді інтеграл по контуру дорівнює взятій з протилежним знаком сумі лишків у всіх зовнішніх ізольованих особливих точках

.

Зауваження 5. Наведені в цьому пункті формули одержані в припущенні, що на контурах інтегрування немає особливих точок.

Приклад. Обчислити вказані лишки:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Розв’язання. 

а) Для функції точка – усувна особлива, оскільки

.

Тому .

б) Для функції точка – простий полюс, оскільки

;

.

Тому .

в) Для функції точка – полюс другого порядку, оскільки

;

.

Тому

.

г) Для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

; ;

.

Тому .

д) Для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

;

.

Тому

.