6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
Стаціонарні процеси моделюються диференціальними рівняннями з частинними похідними еліптичного типу. Це процеси різної фізичної природи: коливання (механічні, зву-кові, електромагнітні); теплопровідність, дифузія тощо. Найпростішим рівнянням такого типу є рівняння
(6.35)
яке
називається рівнянням Пуассона. Функція
двічі диференційовна, а функція
– задана в деякій просторовій області
.
Відповідне однорідне рівняння
(6.36)
називається рівнянням Лапласа.
Наприклад,
таким рівнянням описується стаціонарний
розподіл температури у тривимірному
тілі. Дійсно, якщо температура
не залежить від часу t,
то
і рівняння теплопровідності зводиться
до рівняння Лапласа.
Зауважимо,
що у двовимірному випадку рівняння
Лапласа (6.36) набуває вигляду:
а в одновимір-ному:
.
Функцію
називають гармонічною в області
якщо вона неперервна у ній разом зі
своїми похідними першого та другого
порядків і задовольняє рівняння Лапласа.
У кожній задачі математичної фізики, пов’язаній з рівнянням Лапласа, шуканий розв’язок виділяється із множи-ни усіх гармонічних функцій за допомогою додаткової умови, якою є крайова умова. Завдяки стаціонарності процесу початкова умова у цих задачах відсутня.
Залежно від способу задання крайової умови виділяють три крайові задачі: задачу Діріхле (першу крайову задачу), за-дачу Неймана (другу крайову задачу) та мішану (третю крайову задачу).
6.5 Задача Діріхле
Ця задача
(перша крайова задача) у просторі
формулюється так: знайти функцію
яка задовольняє всередині замкненої
поверхні
рів-няння Лапласа
та набуває у кожній точці М
поверхні
заданих значень:
К.У.
(6.37)
Очевидним можна вважати той факт, що задача Діріхле завжди має розв’язок. Дійсно, якщо, наприклад, кожна точка на поверхні тіла постійно підтримується при певній заданій температурі (яка може бути різною у різних точках поверхні), то у кожній точці тіла встановиться своя температура, яка і дає розв’язок задачі Діріхле при заданих крайових умовах. Також очевидно, що цей розв’язок буде єдиним.
Аналогічно
формулюється задача Діріхле у двовимірному
випадку: знайти функцію
яка задовольняє всередині замкненої
кривої Г
рівняння Лапласа
та набуває у кожній точці М
кривої Г
заданих значенень:
К.У.
(6.38)
Зазначимо,
що задача Діріхле розв’язується дуже
просто в одновимірному випадку, коли
розглядається, наприклад, стаціонарний
розподіл температури у тонкому стержні
довжи-ни l
з теплоізольованою бічною поверхнею.
Тоді задача Діріхле ставиться так:
знайти функцію
яка задовольняє рівняння Лапласа для
усіх
і набуває на кінцях стержня заданих
значенень:
К.У.
(6.39)
Задача Діріхле у цьому випадку має розв’язок
(6.40)