2. Математичні поняття і математичні речення.
Об'єкти
реальної дійсності володіють: а) єдиними
властивостями, що виражають його відмітні
властивості (наприклад, рівняння третього
ступеня з однією змінною - кубічну
рівняння), б) загальними властивостями,
які можуть бути відмінними, якщо виражають
суттєві властивості об'єкта (його
ознаки), що виділяють його з безлічі
інших об'єктів.
Термін
"поняття" використовується для
позначення уявної образу деякого класу
об'єктів, процесів. Психологи
виділяють три форми
мислення:
1) поняттями
(наприклад, медіана - відрізок, що з'єднує
вершину з протилежною стороною
трикутника);
2) судженнями (наприклад,
для кутів довільного трикутника
справедливо:
);
3) умовиводами (наприклад, якщо a> b
і b> c, то a> c).
Характерними
для форми
мислення
поняттями
є: а) це продукт високоорганізованої
матерії, б) відображає матеріальний
світ, в) постає в пізнанні як засіб
узагальнення; г) означає специфічно
людську діяльність; д) його формування
у свідомості невіддільне від його
вираження за допомогою мови, записи або
символу.
Математичне
поняття відображає в нашому мисленні
певні форми і відношення дійсності,
абстраговані від реальних ситуацій.
Кожне поняття об'єднує безліч об'єктів або відносин, зване об'ємом поняття, а характеристичні властивості, притаманні всім елементам цієї множини і тільки їм, що виражають зміст поняття. Наприклад, математичне поняття - чотирикутник. Його об'єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кута, 4 вершини (характеристичні властивості). Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від плотського ступеня до логічної відбувається за допомогою узагальнення: або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм - чотирикутник - багатокутник); або через загальні ознаки в поєднанні з особливими або одиничними, яке призводить до конкретного поняття. У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, я зміст розширюється.
Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, то друге поняття називається родовим, по відношенню до першого; а перше називається видовим по відношенню до другого.
Пізнаючи навколишній світ людина встановлює різноманітні взаємозв’язки між об’єктами, між об’єктами та їх властивостями. У математичній мові ці зв’язки виражаються за допомогою речень. Речення утворюються із понять. Кожне математичне речення характеризується змістом і логічною структурою.
В математиці розрізняють елементарні (прості) і складені речення, складені речення складаються з елементарних. Для елементарних речень його істинність визначається по змісту.
Просте речення: число 28 – парне – І (істинне)
Складене речення: 28 число парне і ділиться на 7 – І.
Число 13 ділиться на 4 – Х (хибне).
Складені речення утворюються із простих за допомогою слів «і», «або», «не». Ці слова називаються логічними зв’язками. Встановити логічну структуру речення означає:
З яких елементарних речень утворене дане складене речення;
За допомогою яких логічних зв’язків воно утворене