Тема 7. Демпфирующие устройства.
Демпфирование.
Общий вид динамического уравнения движения:
(1)
(2)
где ξ – относительный коэффициент демпфирования.
Общее решение дифференциального уравнения (2) будем искать в виде суммы вынужденной и свободной составляющих:
Вначале определим свободную составляющую решения. Для этого запишем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2):
и найдем его корни:
В
случае
уравнение (2) приобретает вид:
,
а корни его характеристического
уравнения:
Таким корням характеристического уравнения соответствует следующее решение дифференциального уравнения:
Константы
А и В можно определить из начальных
условий:
Подставляя найденные значения констант в выражение для x(t), получим свободную составляющую решения дифференциального уравнения (2):
Вынужденная составляющая решения уравнения (2) определяется выражением:
x(t)
t
В
случае
корни характеристического уравнения
определяются соотношением:
Проанализируем последнее выражение:
В
случае
корни комплексно-сопряженные.
В
случае
корни действительные, равные.
В
случае
корни действительные, не равные.
Рассмотренным значениям относительного коэффициента демпфирования соответствуют следующие свободные составляющие решения уравнения (2):
;
В
случае
переходный процесс колебательный:
X(t)
XУCT
t
Т
В
случае
переходный процесс апериодический,
причем с увеличением демпфирования
замедляется темп процессов:
ХУСТ
0 t
При наличии демпфирования
,
где
,
.
1. Критерии выбора относительного коэффициента демпфирования.
Время переходного процесса:
Теоретически время переходного процесса бесконечно, но на практике оно определяется как момент вхождения процесса в заданную трубку точности.
Х
ХУСТ
t
