8. На каких частотах дискретный фильтр, синтезированный методом билинейного z‑преобразования, имеет такой же комплексный коэффициент передачи, как аналоговый прототип при частоте, равной нулю?

Частотные характеристики аналогового K_A(ω) и дискретного K_Д(ω) фильтров связаны друг с другом трансформацией частотной оси:

На всех частотах кратных частоте дискретизации: 0, ,

9. Опишите процедуру синтеза дискретного фильтра по аналоговому прототипу методом инвариантной импульсной характеристики

ИХ аналоговой цепи с сосредоточенными параметрами м.б. представлена в виде суммы экспоненциальных слагаемых: h₁(t)=Ae^pt. И при наличии кратных полюсов слагаемых вида: h₂(t)=Atⁿe^pt. Каждое из этих слагаемых может быть дискретизировано и воспроизведено в дискретном виде. h₁(k)=Ae^kpT. Тогда Z-преобразование этой последовательности равно:

Такая функция передачи соответствует дискретному рекурсивному ф-ру 1го порядка.

При наличии кратных полюсов: h₂(k)=A(kT)ⁿe^kpT. Z-преобразование этой последовательности будет равно:

Такая функция передачи, получаемая после вычисления n-ой производной, соответствует дискретному рекурсивному фильтру n-го порядка.

10. Как связаны между собой импульсные характеристики аналогового прототипа и полученного на его основе дискретного фильтра при использовании метода инвариантной импульсной характеристики? Приведите соответствующую формулу.

    Lля аналогового фильтра	Для дискретного фильтра
    При кратных полюсах

11. Как связаны между собой частотные характеристики аналогового прототипа и полученного на его основе дискретного фильтра при использовании метода инвариантной импульсной характеристики? Приведите соответствующую формулу.

Функция передачи дискретного рекурсивного фильтра первого порядка

12. Накладывает ли метод инвариантной импульсной характеристики какие-либо ограничения на тип ачх синтезируемых фильтров? Если да, то какие именно?

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характери­стикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового — периодическим повторением. Поэтому для получения хо­роших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогово­го прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих час­тоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

13. Можно ли при синтезе фильтра методом инвариантной импульсной характеристики заранее гарантировать выполнение конкретных требований к АЧХ фильтра (допустимые отклонения в заданных полосах и т. п.)? Почему?

Нет, можем обеспечить только заданную форму ИХ, общий вид ( ФНЧ, ФВЧ и тп )сохраняться, а параметры (частота среза и допустимые отклонения и тд) не можем контролировать.

14. Запишите общую формулу для целевой функции, используемой при прямом синтезе дискретных фильтров путем минимизации p-нормы ошибки.

В качестве минимизируемой меры откло­нения характеристики фильтра от заданной в общем случае используется р-норма ошибки. Такая норма L_р для функции f(x) определенной на интервале от а до b, рассчитывается следующим образом:

Чаще всего используются два значения р:р= 2 и р = ∞. При р = 2 норма L₂ про­порциональна среднеквадратическому значению функции. При р -> ∞ норма L_∞ дает максимальное (по модулю) значение функции, достигаемое на рассматри­ваемом интервале.