46. Різновиди чисел

 Совершенное число - число равное сумме всех своих делителей включая единицу. 6, 28, 496, 8128, 33550336,8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 __________________________

 Простое число - число, которое делится только на себя и на единицу. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

 Взаимно простые числа - числа у которых НОД равен 1.

 Числа-близнецы - два (нечётных) простых числа, отличающиеся на 2 называются близнецами.

 Простые числа Мерсенна - числа вида Мр = 2р -1 , где р - простое число. (Так как М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это - простые числа Мерсенна.)

 Гиперпростые числа - простое число называется гиперпростым, если любое число, получающееся из него откидыванием нескольких последних цифр, тоже является простым. Например, число 7331 - гиперпростое, т.к. и оно само, и числа 733, 73 и 7 являются простыми. ––––––––––––––––––––––––––

 Дружественные числа - это два натуральных числа, таких, что сумма всех натуральных делителей одного числа равна другому числу.

 Числа Фибоначчи  1 1 2 3 5 8 13 21 34... Отношение соседних чисел Фибоначчи по мере удаления от начала последовательности в пределе стремится к золотой пропорции.

 Число Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ... задается равенствами L0=2, L1=1, Ln=Ln-1+ Ln-2 при n>1. Французский математик Люка впервые назвал числовую последовательность1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…числами Фибоначчи и открыл новую, не менее фундаментальную последовательность 2, 1, 3, 4, 7, 11…, которая тоже связана с золотой пропорцией. Отношение соседних чисел Люка по мере удаления от начала последовательности в пределе стремится к золотой пропорции. Последовательности чисел Фибоначчи F(n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… и чисел Люка: L(n)= 2, 1, 3, 4, 7, 11,… ученые все чаще встречают во многих явлениях окружающего мира. Золотая пропорция (Ф=1,618) появляется как предел отношения соседних членов последовательности. Золотое сечение (?=0,618) появляется как предел отношения соседних членов последовательности. Связь последовательностей чисел Фибоначчи и Люка обнаружил в 1602 году Кеплер в публикации 1202 года (на рубеже XII-XIII веков). Оказалось, что "Отношения рядом стоящих чисел Фибоначчи Un и Люка Ln в пределе стремятся к... золотой пропорции Ф:Un+1 / Un -->Ф , Ln+1 / Ln -->Ф , при n -->Ґ ". Особенно потрясающим в математическом открытии И.Кеплера было то, что ряд чисел Фибоначчи Un являлся всего лишь решением простенькой задачки о размножении кроликов, как один из примеров в книге "Liber Abacci" итальянского математика Леонардо Фибоначчи из Пизы.

 Автоморфные числа - автоморфным называется число, которое равно последним цифрам своего квадрата.

47. Способи округлення

В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.

Округление к ближайшему целому (англ. rounding) — наиболее часто используемое округление. Число в десятичной системе округляют до N-ого знака в зависимости от N+1 знака:

если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;

если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют.

Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.

Округление к меньшему по модулю (округление к нулю, целое англ. fix, truncate, integer) — самое «простое» округление, поскольку после обнуления «лишних» знаков предшествующий знак сохраняют. Например, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).

Округление к большему (округление к +∞, округление вверх, англ. ceiling) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу, если число положительное, или сохраняют, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу продавца, кредитора (лица, получающего деньги). В частности, 2,6 → 3, −2,6 → −2.

Округление к меньшему (округление к −∞, округление вниз, англ. floor) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак сохраняют, если число положительное, или увеличивают на единицу, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу покупателя, дебитора (лица, отдающего деньги). Здесь 2,6 → 2, −2,6 → −3.

Округление к большему по модулю (округление к бесконечности, округление от нуля) — относительно редко используемая форма округления. Если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу.

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

Математическое округление — округление всегда в бо́льшую сторону.

Банковское округление (англ. banker's rounding) — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному, то есть 2,5 → 2, 3,5 → 4.

Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике).

Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм. Так, если в реестре из 10000 строк окажется 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50 (а это вполне реальная оценка), то при округлении всех таких строк «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.