Магнитное поле тороида

Пусть на тороид намотан провод, образующий на тороиде n витков, через который течет токI. Из сообр. Симм-рии задачи поле В внутри тороида, создаваемое витками с током, постоянно на окр-ти радиусаr с центром на оси тороида и направлено по касательной к ней, перпендик-но плоскости поперечного сечения тороида.

По т. о циркуляции вектора В для поля В по этой окр-ти =>

-длина окр-ти, учтено, что внутрь этой окр-ти входитNтоков, имеющих одинаковый знак.

Поле В внутри тороида не однородно :убывает при удалении от оси тороида и максимально на окр-ти радиуса r=R1, минимально на окр-ти .

Если окр-ть взять вне тороида, то число входящих внутрь контура токов будет= числу выходящих и алгебраическая сумма всех токов=0. (М поле вне тороида =0).

М. Поле бескон-го прямого соляноида.

Такой соляноид можно рассматривать, как тороид бескон-но большого радиуса . Длина контураL, проходящего вдоль оси соленоида и число витковN на тороиде (соленоиде) в эт случ бескон-е величины, но отношениеn=N / L (плотность витков на соляноиде), есть конечная величина. Тогда введя в формулу для поля тороида плотность витков:. В отличии от тороида м. Поле внутри соляноида (бескон-го) однородно т.е..

_________________________________________

Сила Лоренса.

q>0

Опыт показ, что на заряд движ-ся в м.поле В со скор.действует магнитная сила,Fперпенд-на плоскости векторов () и ориенторована по правиле лев.руки. Величина м.силы=> на частицу движ-ся в м.поле вдоль сил.линии магнитная сила не действует.

Если заряж частица движ-ся в области пространства, где действует эл-кие и магнитные поля, то на него действует сила -Сила Лоренса.

Было показано, что движ-ся заряд создает вокруг себя, как эл-кое, так и магнитное поля, величины которых связаны:(1).

Если параллельно этому заряду движ-ся др заряд(со скоростью ), то на него подействует эл. и м силы, связь м/д которыми можно найти * обе части равенства (1)на: => Магнитное взаимодействие всегда слабее эл-кого.

Нетрудно отметить, что в собственной сос отсчета движ-йся вместе с зарядами, заряды покоятся и магнитное взаимодействие м/д ними отсутствует . Кроме того из связи м/д магнит и эл сил:если бы скорость передачи взаимодействия м/д телами (скор света) была бескон-й, то магнитизм как явление вообще бы отсутствовал.

Сила, дейст-щая на проводник с током в магнит поле. Сила Ампера.

B1

F1

F2

Если проводник с током поместить в м поле, то на каждый носитель тока подействует магн сила. Если объемная плотность заряда в проводнике , то в элементе объемаdVпроводника находиться заряд, перемещ-йся по проводнику со ср скоростью направленного движения. На этот заряд в поле В подействует сила(1), где- плотность тока.

Учитывая, что jdV=IdL, получим(2), гдеdL-вектор элемента длины, совпад-щий по направлению с токомI.

Соотношения (1) и (2) назыв Законом Ампера.

Направление силы Ампера опр-ют по правилу лев руки.

Интегрируя обе части (1) и (2) можно найти магнит силу, действ-щую на тот или иной Vпроводника или его линейный участок..

В качестве примера рассчитаем силу взаимод 2-х бескон прямых параллельных проводников с токами I1 иI2, находящихся на расстоянии Rдр от др, приходящуюся(силу) на еденицу длинны проводников.

Проводник с током I1нах-йся в м поледругого проводника. Вектор В перпенд-рен плоскости проводников, а его величина постоянна вдоль токаI2. Согл З. Ампера силаF дейст-щая на единицу длинны токаI2 равна(3) Такая же сила дейст-ет на проводникI1.

Легко убедится, что при одинаковом направлении токов в проводниках, они притягиваются, а при противоположном – отталкиваются.

Полученное выражение для силы лежит в основе определения единицы силы тока в СИ – 1 Ампер – это сила тока, которая протекает по двум параллельным проводникам, приводит к силе взаимодействия

м/д ними(н) на каждый метр длины.

Пологая в (3) I1=I2=1 AиR=1метр, находим величину магнитных постоянных в СИ. Значение величиныв СИ позволяет ввести единицу измерения напряженности магнитного.

Напряженность Н м поля равна еденице, если индукция этого поля В0 в вакууме численно равна т.е., эта еденица назыв А/м.

Вращательный момент, дейст-щий на контур с током.

Рассм плоский прямоуг-й контур со сторонами L1 и L2, по кот течет ток I. Пусть вектор В образует с положительной нормальюк контуру уголи для простоты плоскость векторовпараллельна стороне контураL2.

Для нахождения вращательного момента , действующего на контур, разложим вектор В на 2 составляющие: Bn – параллельную к нормали контура и В1 – перп-ную составляющую рамки L1. Величины этих сост-щих равны

Составляющая Bnсоздает на сторонах рамки силы, лежащие в плоскости контура, растягивающие или сжимающие контур(в зависимость от направления токаI в контуре). Векторная сумма этих сил = 0 и они не сообщают контуру не вращательного не поступательного движения. Составляющая поля В1 создает на параллельной В1 стороне рамкиL2силу равную 0, а на Стороне рамкиL1перпендик-ной В1 пару силF1 и F2(одинак по величине, параллельных и противоп по знаку(направленых в разные стороны)). Величина . Пара сил не создает (не сообщает) контуру поступательного движения, а создает вращетельный момент, где-площадь рамки;-магнитный момент контура;. Получили(*).

Направление:

Вектор перп-рен плоскости векторови образует по отношению к ним правый винт. Формулу (*) можно записать в виде векторного произведения. Векторуказывает направление оси вращения контура. Если плоскость векторовповернута к сторонеL2 на угол, то и ось вращения повернется на этот угол.

Работа поворота контура с током в маг поле. Энергия взаимод-я контура с током с маг полем.

При повороте контура в маг поле необходимо совершить работу против магнитных сил, действующих на контур. При увеличении угла м/д векторамина уголработа равна. Возвращаясь в исходное положение контур может совершить работу над внешними силами (телами) =>РаботаdA, совершаемая контуром идет на повышение его потенциальной энергии. Интегрируя найдем потенциальную энергию контура: . Физический смысл имеет лишь разность потенц энергий и константу можно положить равной 0:.

Потенц энергия минимальна при =0 ()т.е. при параллельной ориентации векторовPm и В, что соответствует устойчивому равновесию контура.

Согл принципу механики при изменении ориентации контура внешние силы соверш работу над ним . Эту формулу перепишем,где введен потокчерез площадкуS, огр-ную контуром. ТогдаA=I(Ф2-Ф1).

Если контур содержит Nвитков, то используют понятие потока сцепления контура с полем, в эт случае,-потоки поля В через контур в его конечном и начальном положении.

Сила, действующая на контур с током в маг поле.

Рассм вначале плоский контур в однородном маг поле. На элемент которого dLдействует сила, а на весь контур, где-сonst, вынесена за знак интеграла и учтено, что. Т.о. на контур с током с током в однородном маг поле всегда действует сила=0. Силу действ-щую на контур в неоднородном маг поле можно найти из связи между силой и потенциальной энергией. Предпологая, что полене однородно лишь вдали оси Х иполучим для х-компоненты силы.

Работа Перемещения проводника с током в МП.

Пусть эл-нт

тока Idl перем естился в поле В на dl. Работа, соверш-я силой Ампера dA=Fdl₁=I [dl₁B] dl₂

Циклическая перестановка cомножител ей в смешанном произведении не меняет вел-ну производной. Поэтому

[ dl₁B ] dl₁=dl₁[dl₁B]= [dl₁ dl ]B=dS B где dS=[ dl₁ dl ]-вектор площади. Получ:

dA=BdS=IdФ,где dФ=BdS -поток поля, пересеч-го проводником при движ в МП.

Полная Работа перемещения провод-ка с током в МП. A=₀^ IdФ=I₀^ dФ= =IФ;Ф-полный поток пересеченный провод-ком. А_эл = q

Работа перемещения контура с током в МП. При

перемещ в

МПоле конт-ра, он пересек некотор объем простр-ва, огр анич боковой поверхн-ю Ц и его основан ием. Согл предыд работа перемещения контура А=IФбок ;Фбок- поток Поля В через бок пов ц-ра. Такое представлен

ие для А-неудоб. Бок пов Ц м б сплошно й.НоТГаус для вект Вчерез произволза- мкнпов-ть позвол придать выраж-ю для А др вид Согласно ТГ поток Поля В

через произв замкн пов-ть : Ф_В=Ф₁+Ф₂+Фбок =0_; Ф₁ и Ф₂-потоки п В через основание Ц в нач и конеч полож, вычисленные по отнош к внеш нормали и замк нутой пов-ти.При работе А через пов-ть,огран-ую контуром, прин ято польз +ой нормалью,образу-ей с направл-ем тока в контуре правый винт. Изменяя на втором основании ц внешню ю нормаль n₂на +ную, и учит, что знак потока Ф₂при этом измен-ся, получим,:

Ф_В =Ф₁-Ф₂+Фбок=0Фбок=

=Ф₂–Ф_{1 ;} А=IФбок=I(Ф₂ -Ф₁)

Ф₂ ,Ф₁- потоки через пов-ть, огран-ные конт-ом, в его нач и конеч полож. Если контур содержит n витков, то Ф надо заменить на поток сцепления

=nФА=I(₂ -₁)=I_n(Ф₂ -Ф₁)

Эл-магнитная Индукция.Фарадей 1831

В замкн проводящем конт при измен М потока, охватываемого этим конт-м, возник эл ток. Это ЭМ Индукция, а возн

ик ток –индукционный..Фарадей - индук ционный ток вызывается ЭДС индууции, пропорц -ой скорости измененияФ, прон изыв-щего контур _i= - d Ф/dt если кон-р содерж n витков,то в кажд из них возник ЭДС инд-ции, кор ввиду последоват сое д -ия витков сложатся иполная ЭДСв контуре: _i= -d Ф/dt= -d/dtФ_i= - d/dt=Ф_i полный поток или п-ок сцеплени я. Если потоки Ф через все витки однак, то ;=nФ

Знак - в законе Ф стоит в соотв с правилом Ленца и с договорен о выборе +нормали к конт-ру, направление которой определяет знак индукц I и ЭДС инд, так и знак Ф через конт. +Нормаль к контуру связ с направл входа контура правилом прав винта.

Привило Ленца.

Инд в контуре всегда имеет такое направ, чтобы препят-ть пречине его выз-щей.

Для проверки прав-ти выбора знака (-) в Зак Ф //произв контур. Выб-ем +нормаль к конт-ру n по направлению В. Если Магн Ф, т.е d/dt0 ,то по Ленцу возн ик I инд I_i , направленный так,чтобы его поле В_iпрепятствовалоФ, для этого I_iд.б направ лен как на рис А. Согл выбор у + обхода в эт случ I_i0.Если Ф через контур +, т.е.dФ /dt0 ,то возник I инд, Ii направл-й так, чтоб его поле В препят-лоФ. Для этого ток Ii д.б. направлен как на рис Б. В этом случ Ii0

В обоих случ знаки dФ/dt и Ii а знаки _iпротиво-ные в полном соответ с зак Фар. Заряд, протекающий через контур при изменении Мпотока через него. ПриФ через контур в нем возник

I инд = _i/R = - I/R * d/ dt; R- сопрот контура. Если Поток измен-ся от₁до₂, точерез контру течет зар q

q = I dt = -1/Rd/dt= -1/R^2_1d

q =1/R (₁-₂) ; Если Ф меняется толь ко за счет поворота конт-ра, ,то

= n B S Cos 

 - [B, S] ; q =1/R n BS (Cos ₁ -Cos ₂)

Если конт повор-ся из его полож устойч равновесия  ₁=0;

на   ₂ =180  q = 2 nBS/R

Если измерить вел зар, протек-го через конт, то мож найти вел В,действ-го в окр естн контура. Способ предл Столетов

ЭДС в проводнике, движущемся в М Поле.

//прямой

пров-к длины l, движ-ся в мп В с пост v.Бум счит,что направление движ пров-ка составл с осью пров,а В образ с пормалью n к поверх-ти, очерчиваемой с проводником при движ в м п. При перем ещ на dx пров-к очертит площ в виде паралл

елогр площадью dS=ldxSin.Поток п В через эту площ :dФ=BdSCos=BldxSinCos

Согл з Фар в проводнике возник ЭДС инд, кот ни концах замкнут пров-ка создаст равную ей разность потенц-в ||=|dФ/dt|=

=Blv |Sin||Cos| ; v=dx/dt - скорость пров-ка

ПолярностьЭДС и направл-e Iинд ,кот возникнет, если пров-к замнуть, совпад с направл-ем составляющейF Лоренца || проводнику, действующей на+заряды, дви

жущ-ся с провод-ком со скор v. Под действ этой сост-й Лор з-ды преобрет вдоль пров-ка скор направленного движ V и на них подействует FЛор. Cост-я Полной Силы Лор, действующей на зар-ы, движ-ся с антипараллельные внешней силе, уравновесит эту силу,вызывая движ пров-ка с пост скор-ю. Мож показ,что работа полной FЛор в замкн конт пров-ка=0F Лор не создает ЭДС индукции. D?

в движущемся пров-ке играет внеш сила, вызывающая движ-е пров-ка.

10.05

If поток изм только за счет поворота ко-ра, =NBSCosгде=BSтогда q=NBS/ / R (Cos₁-Cos₂) .. кон-р повороч из его полож устойч равн ..0, на₂=180,то

q =2NBS/ R. If изм вел зар-да,проте ч/з к-тур,то м найти вел инд В м поля, действ в окр-ти к-тура.Этот спос опр вел поля В был предлож Столетовым.

ЭДС в Проводнике, д в и жущемся в Маг Поле. Рассм прям проводник длин

S B -ыl,движ в м поле инд

ln--------vВс плст ск

 |I -ор v; бум счит,что на

 dx-правл движ проводн с

оставл с осью пр-ка .., а вектор В образ с нормалью n к пов-ти,...рчив проводник

ом при движ в м поле, . При перемещ на dx пров-к очертит площ-ку в виде пар алелогр площ dS=ldxSin; поток поля ч/з эту пл-у:dФ=BdSCos=BldxSinCos

По з Фарадея в пр-ке возник ЭДСиндукц

... на концах разомин проводн создаст равную ей разн пот-лов:

|Ф|=|dФ/dt| =Blv |Sin| Cos|, v=dx/dt -

-скор проводн. Полярность ЭДСи напра

вл инд.тока, кот возн.. проводн замкнуть

, сзвпадают с направл составл силв Лоре нца, || пр-ку, действ на .. движ вместе с пр-ком со скор v.Под действии этой сост

-ей силы Л.зар-ды приобретут вдоль пр-ка скорость направл дви ... и на них поде

йств доп сила Л.Сост-ая полной силв Л действ на зар-ды, движ со скор (U+v) ан

типараллельна внешней силе,уравновеси

т эту силу, вызывая движ пр-ка с пост ск

ор-ю.Мож пок,что работа полной силы Л в замкн кон-ре пр-ка=0.Это означ,что си

ла Л. не создает ЭДСинд-ции сторонней силы, приводящей к появл ЭДСинд дви

ж проводн, играет внешняя сила, вызыв движ пр-ка.

Ф-лу ||=Bl v |Sin| Cos| м пред в ви

де * ||=Bl₁ v | Cos| ; гдеl₁=lSinМож пок,что пр-кформы,концы кот на

х на прямых, || -ых вектору ск м, имеет ЭДС,..ф-лой * Рис.

ЭДС во Вращающ в Магн Поле Проводнике.

S B #пров-к L=R-r, располож

    радиально,концы кот-голежат

n на концентрич окр-х r и R>r ,вр

|ащ вокруг осиой пл-ти окр-ти с

\ r угл скор .На концах пр-ка возни

R-к разн-ть пот-ов**=/Т=

=BSCos/T=B(R²-r²)Cos/ T=1/2B*

*(R²-r²)Cos,=(B,^S) гдеS=(R²-r²)=

=L(L+2 r) -площ сцепл проводн с маг п

олем, L=R-r -дл пр-ка. М пок,что пр-к #ф

-ормы,леж-й в тойже пл-ти вращения,ко-

нцы кот леж на окр-ях рад r иR,имеет раз

-ть пот, опр ф-лой**.

ЭДС самоиндукции.Индуктивность Соленоида.

Эл ток,текущ

вконтуре,соз

В =L I дает (в этом кон-ре)пронизы

| -в этот к-тур м поток.Согл зак

БСЛ,маг индукция пророр-на I, со L здающему поле.Мпотоксобств

поля кон пропорц Iв кон. =L IКоэф пропорц L меж собств м потоком к-ра и силой тока в нем наз индуктивн-тью к-ра

Она завис лишь от геометрии к-ра и маг прониц-сти среды,охватыв к-тур. If к-тур

жесткий, и внутри него нет ферромагнет

L явл const велич,не завис от силы тока контура.Вычислиминд-ть Сол-да,длина котего ?са.Такой С м считдлинныи и поле в нем - В=o nI ,где n=N/l-?сть

витков на *С-да. Полный м поток, ? зыв.

С-ид,: =NФ= nl Ф= nlBS=o n² lSI

где l-длина ,S- площ егоcечения.Отсюда инд-ть с-да:L=/ I= o n² l S= o n²V

V=l*S -объем С-да.Измен-е силы тока с кон-рек изм его собств м потока и к появл ЭДС, ??в ЭДС самоиндукции :

_e= -d/dt= -d(LI)/dt= - (L*dI/dt - I*dl/ dt)

ф-лу м пред ввиде:_S= - (L+I*dL/dI)*dI/dt

= -L дин*dI/dt ; вел-на L дин=L+I*dL/dI

явл-ся динамич индукт контура. If к-р не охват ферромагн, то индуктивн завис от тока Iв контуре В эт случ dL/d I=0 и

Lдин =L= const

В з а и м н а я И н д у к ц и я.

B₂----------------B₁Рассм 2 контура,

I₁I₂ распол близко др к др.Ток в

каждом к-ре создает в окрестн др к-ра м поле.Это связанные контура.М поле кожд к-ра созд в соседнем к м поток :

₁₂=L₁₂I₂;₂₁=L₂₁I₁; Коэф-ты L₁₂

и L₂₁ наз взаимными индуктивностями

кон-ров.При измен Iв одном из к-в в сосе

днем к-ре б индуцироваться ЭДС :

_i1= -L₁₂*dI₂/dt ;_i2 = - L₂₁*dI₁/dt -ЭДС вз

аимной индукции.Здесь предпол,что ферром отсутств и L₁₂и L₂₁ =? Мож пок,

что при отсутст ферром коэф-ты взаимн инд одинаковы L₁₂=L₂₁ - Т-ма взаим-ти

-зависят от геометрии ко-ов,их взаимног

располож и м. прониц среды,окруж к-ра

В отли от инд-ти к-ра L,кот всегда ?,

взаим инд-ть ко-ов L₁₂ - алгебр-я вел, кот мож быть и =0; знак кот-й завис от выбо ра направлнормаллей к контурам,кот

орые связаны с выбранным направл обх

ода того /иного к-ра правилом правого в

инта.Выбор же нормали опр как знак ток

а, т.е. и знак потока. Знаки L₁₂ в завис от направлений обхода к-тов, кот всегда мо

ж связать с направлением токов в них, п

оказ на рис. L₁₂>0 Оn Оn

L₁₂<0 ОnО [? ]

.......

Зак Ома для к-ра 1 буд иметь вид

R₁I₁=₁-L₁*d I₁/dt - L₁₂*dI₂/dt ;₁-сторонн

яя ЭДС(помимо индуцируемых ЭДС). ?

будет выраж з Ома для второго контура

Взаимная Индуктивность Связанных Контуров. Возьм две обмотки, намот одна на другой на ? цилиндр-кий ферромагн цил-др длины L, ?S и объе-ом V=SL Плотность витков в обмотках n₁и n₂.Пусть в обм n₁созд-ся I₁,котор созд-ет в сердечнике поле с индукцией В₁.Полн -ый маг поток, прониз-ющий N₂= n₂L витков обмотки,=₂₁=N₂B₁S= n₂B₁SL= n₂B₁V Учи тывая,чтоB₁=₁o n₁ I₁;₁-маг прониц сердечника при токе I₁, получ:₂₁=₁o n₁₂₁=₁on₁ n₂V I₁отсюда: L₁₂=₂₁/ I₁=₁o n₁ n₂V

Аналогично L ₂₁=₂o * * n₁ n₂V

? маг прониц ферромагнетика завис от токв I₁и I₂, значен L₁₂и L₂₁не совп. Так

ое же выраж для взаимных индукт получ для обмоток, намот на общий тороид маг

ферромаг сердечник.

Энергия Магнитного Поля. Проводни к,по кот течет эл I,всегда окружен полем, кот возник и исчезает вместе с током ? дем энергию этого поля. по з сохр и прев

ращ энергии, эн маг ?=работе, затрачен током на создание этого поля.Сконтуром связан м поток =L I,кот при изменении тока изменяется на велич d=LdI. Рабтоа

кот надо соверш для измен-ния пот наd

dA=Id= ILdI. Тогда работа по созд м потока: А=LIdI{ 0, I}=LI²/ 2. Сл-но эн м поля,связ с токомW=LI²/ 2=I/2=²/2L

Эн п локализ-на в пр-ве и в неоднор-ном м поле м. меняться от(.)к (.).Поэт удобно ввести локальную хар-ку -объемную пло

тность энергии м поля. для ее нах рассмо

длинный соленоид, эн-гия кот.с учетом

L=o n²V,: W=LI²/2=o n²I²/2*V.

17.05.

Учит, что инд м поля соле-да В=o n I, и I=B/o ,получ для эн в ед V сол-да

=W/V=B²/ 2o=o H²/2= BH/2 Мо

жно пок,что эта ф-ла имеет общий хар-р и справедлива лишь для пара- и диамагнетиков.