Поток п е через замкн пов или т Гаусса

Для вектора Е.Для док Т введем геоме тр интерпрет потока,как числа сил-х лин ий N, пересек-х площ S, _^ ю полю Е. Ф_E=N=ES_^= ESCos a

Бум счит п Ф_Еи число

линий п N, перес екающих S₊ ,если линии п вых изSи (-),ifвходят вS.Ф_{Е --}=N_--<0;

Ф_{Е +} =N+>0;

Ifчисло, входящих в замк пов линийN_-- = числу вход-х N₊ Þпоток п Е через S =0. Ф_E=Ф_E+

+Ф_{E --}=N₊ |N_--|=0 Для док

# поток (.)заряда q через сфер пов S.

В центре нее нах (.) з q.В этом случ п з-да Е=const по S, поэтому поток п через сферу: Ф_E =ФЕ_n dS= Е_nФ dS= Е_n S=

=(К q) / (er²)4pr²=(4pКq) /e=q/ /ee₀

(К=1/4pe₀); q- внутри S

Ф_E =Ф Е_n dS = q / (ee₀)

Если сфер пов-ть деформировать, то число линий поля,выходящих из S,а значит поток п Е через S не изменится. Если q поместить вне замкн пов-ти, то ч исло вход-х вS линий п =числу вых, и по ток п Е черезS =0. Получим: Если (.) q на ход внутри замкн пов S,то пот пЕ черезS Ф_E=q /ee₀Пусть внутри S нах нескольк q₁...q_N Для потока п Е_i каждогоq_i :

∫ Е₁ dS = q₁/ e e₀ .................

∫Е _N dS=q _N / ee_{0 .}

∫( Е₁+E_N)dS=∫ЕdS=(q₁+..q _N)/ee₀=q/ee₀

суммар поле­,Ф=∫ЕdS=q внутр/ee₀

Ф_Е-поток сум-го поля E=åE_iчерез S

q _вн =åq_iсум-й з внутри S.Если з-д внутри Sраспред непрерывно:

q= tdl q= sdS q=òdV еслиt,s,=const Þ q= t l = s = V

Т Гаус для вектора DВведем вспом векторD=ee₀E=индукция эл п или эл смещение. Поток п D через замк полв:

f DdS =ee₀ fEdS= =ee₀*q/ ee₀ =q

Т Гаус для D Ф_D =fDdS = q_{вн у тр}

Т Г для Eи D позвол сразу напис ответ для п-ков Ф_Е и Ф_D вектторов Е и D,не вычисляяò-ов. Для 3^х поверхн-й на рис получим:

Ф _DI=q₁+q ₃Ф_DII = - q₂ Ф_DIII = 0

Ф_EI =(q₁+q₃)ee₀Ф_{E II} =q₂/ee₀Ф_{E III} = 0

Для век-в известной физ величины

Дивергенция век поля. Дифференци руемая форма ТГ для вект-в Е и D

Т Остроград-Гаус позвол выраз пов-ый òчерез произв замкн поверх через объемный ò. f _S a dS = f _V ( Ña)dV V-объем,

охват-й замкн пов S. Вел (Ña)-диверген ция вект па;diva=Ña= (¶/¶_x e_x

+ ¶/¶_y e_y+ ¶/¶ _z e_z )(a_x e_x+a_ye_y +a _z e_z)=

= ¶a_x / ¶ _x +¶a_y/ ¶ _y + ¶a _z /¶ _zИспольз Т Остр-Гаусса, Т Г для вект Е можно запfEdS=q/ee₀Þf(ÑE)dV=1/ee₀ò_V dV Þ div E =ÑE=/ee₀;ÑE=¶E_x/¶_x +¶E_y/¶_y +¶E_z /¶_z;=(x,y,z) –плотность з в(.) вычисл диверг поля Е или D ; div D=

Ур-я Пуассона и ЛаплассаУр-e

divE=p /ee₀при E= -Ñjмож запи в виде: divE=ÑE= -ÑÑj= -Ѳj= -Ùj=-/ (ee₀)ÞÙj=-/ee₀;;Ù- набла (оператор)

Ù=ÑÑ=Ѳ=¶²/¶x²+¶²/¶y²+¶²/¶z²

Ù-оператор Лапласса.

Ур Пуассона

Если =0придем к ур=0

Применение Т Г к Расчету Полей пост по замкн пов-ти S,за искл уч-ков пов-ти, по которой Е _n=0;

 Поток П через Замкн Поверхность

фЕ _n dS=ò E _n dS=E _n ò dS=E _n S=q / (e e₀)  E _n= q / ((e e₀ S ; S-площ

частизамкн пов-ти, по кот норм сост-я поляE _n0

q- зар внутривсейзамкнутой поверх-ти

Применить ТГдля нахожд-я Поля E _n, постоянного наS,мож лишь в том случ, если такая повSизвестна из соображений симметрии задачи или найденной экспериментально.

ПОЛЕ Е равномерно заряженной по пов-ти Сферы

Вспомогат воображ

пов-тьr,S Для нах поля Езаряж-ой cферы рад r округлим ее сф-й большего r>R Из симметрии задачи поле Еn=const на S, а внутри сф зар q не завис от r  поТ Гаус п Е на S: Е=q /oS=q/ 4o r**rR

Еn совпад сЕ. Ifвзять внутри сфR (заряж-ой), то внутри S зар q=0 и п Е на S =0 E=0 , r < R Поле Е-разрывная фун-я Е= { 0 r < R

{ q / 4 o r** rR

Вывод: п Евнесф также

как п (.) з, наход-ся в ее центре.

Поле равномерно заряж-го по объему шараш арR заряжен

с плот зар .Возьм

внутри R произвол-ю сф r<R.Из симметр зад поле Е=constна S .Внутри окруж-ти зар q, зависящий от r: q=V=4/3r***

ПоТГ поле Е на S = 4r**: Е=q /1oS= =( 4r***/ 3 *) / (41o r **)=/ ( 31o) *r = C r ;1-первая область; С=const- линейная фу-я 0rR.If сф-у S =4r**взять вне заряж шара R,то внутри S окаж-ся з q, не зависящий от r :

q=4/3R***=const Для п E на S по ТГ:

E=q / 2 oS=q / 4 2 o r** (r > R)

 E={  / (31 o)*r =c r 0 r R внутри

{q/ (4 2 o r** r >R сферы

E1 |2 скачок поля Е

| E=cr | E=c/r**по сфере R

|___________|_______ 12

0 R

Скачок п Е по сфере

Поле Равномерно Заряж-го Цилиндра

(-го) и -ойНити

Ц окружен вспом-ой ц-й пов-ю.Для нах п Е заряж-го Ц-R ,окр ужим его мысл Ц r R и выс-й L.Внутри Ц r окаж-ся q,не зависящ от r.Из симме-и задачи п En=const на бок п-ти Ц S=2r L; En=0 на основаниви Ц(проекция поля)

По ТГ получ для п Е на бок-ой пов-ти Ц

E=q/oS=q/(2orL)=/(2or) rR=q/L-линейная плотн з бок-й п заряж Ц

 E= {0 r <R E  E=c/r

{/((2 o r) r R } o |_Eo_____

If рад заряж-гоЦ устремить R 0,то при дем к полю оо-но зар-й нити на оси Ц.

E=/(2or) 0<r < ooВывод: п Евнеза-гоЦ так как п нити, нах-ся на его оси.

Поле Равномерно ЗаряженнойПлос-ти

Для нах-я п Е зар Пл-построим прямойЦ с основаниями =отстоящими от плоск-ти

Внутри Ц-з q,не завис-й от расст оснований Ц до пл-ти.Из симметр задачи поле En=const на осн-ии Цплощадью(2S) и En=0на бо-й повЦ.По ТГаус для поляЕ на осн-яхЦ 2Sпол : E=q/oS=/ 2o;=q/S -пов-ая плотн з-а плоскости Направ-ие опред-ем сами,if E=const- п однород

Поле оо-ой Равномерно Заряженной Пластины с Полостью и без нее. Пусть

П-на зар-на с объемной плот

з-да в области1/ 2 | x|2/ 2 Для нах пЕ П-ны постр прям Ц с осн-ми =отстоящ от п-ти симметрии П-ы. .А)внутри полости пЕ=0

Б)if осн-яЦ взять внутри з-ой области внутри Ц окажется з q, зависящий от x

q=V=2(x-1/ 2) S.полеЕ на осн-хЦ-2S

E= q/ o2S=[2* (x-1/2)*S]/ (21oS)= =/ (1о) * (х-1/ 2);1/ 2| х | 2/ 2 -поле внутри заряженнойобласти

If основ-ия Ц взять внезар-ой обл,то внутри Ц окаж-ся з-д q,независящий от х q= 2(2 / 2 -1 / 2) *S=constп Е на основ-яхЦ: Е=q/ (2o2S)=[2*(2/ 2 --1/2 )*S] / (2o 2S) =/ (2o)*

*( 2/ 2 - 1/2 )=Const 

 E= { 0 | x | < 1/2

{  (x--1/2) / 1o  1/2  |x|   2 /2

{  /1o*(2/ 2 -1/2)=const |x|> 2 /2

2 1 | E|1 |2

| | | | |

|_______|______|______|______|___

2/2 1/2 01/22/2

Для нах п Е пл-ны без полости надо положить 1/ 2=0

Е {/o *x | x |/ 2 d- толщи

{{/o * d/2 | x | >/2 на пласт-ы

________ ___2

| 1 | |

 2 | | |

_______ |_____ __|____ __|____

- d/2 0 d/2 x

Нахождение Разности Потен-лов межд

2-м я (.) ми Поля.Пусть над найа-в межжу центром Пл-ны с полостью и (.) В вне властины. По опр:а-в=Edx

{ Xa Xв }=Edx{Xa d1/2} +/1o* (x-d1/2)dx {d1/2 d2/2} ?+ / 2 qo*(d2/2 - d1/2) dx { d2/2 Xв}=

= / 1 o *(x**--d1/2*x)  { d1/2 d2/2}+ / 2 o *(d2/ 2 - d1/2) x  { d2/ 2 Xв}

ЭЛ Поле внутри Металла и Вблизи его Поверхности

Если металл поместить во внеш эл Поле Е₀то свободные электроны в мет-ле придут в движ и на его пов-ти появятся внутри металла – создадут противополе Е¹и суммарное Поле внутри металла станет Е=Е₀–Е¹электроны в Ме будут пе

Ремещаться до тех пор. Тока на Ме на станет:

Учитывая связь Е = , получим, что внутри и на пов-ти Ме потенциальная Ме

Вывод: Ме – есть эквипотенциальная область, внутри кот Поле Е=0, а Пот-ал Ме равен Пот поверх-ти. Учит. что пов-ть Ме имеет , заключаем. Что силовые линии внешнего силового Поля Е всегда -ны поверх-ти Металла.

ЭЛ Поле вблизи Ме можно найти по Т Гаус, взяо в кач-ве вспомогат повер-ности прямой цилмндр с основаниями внутри и вне Металла. На основании Ц внутри Ме и на бок пов-ти Ц-ра Поле Е =0 На внеш основ-нии Е и Поле Е –но основ-ю.Тогда по Т Г получим

Поверхностная плотность зар в (.) вычисления Поля Е. всегда больше на поверх-ти Ме. Поэт вблизи ос острий созможен эл пробой воздуха (газа).

Емкость Проводника

Если пров-ку сообщ

заряж, то он приобрет потенциал . Отношение – емкость проводника

Она зависит лишь от генетич-х пра-ров провод-ка и диэл прониц-ти , в которой погружен проводник. Но не зависит от и .

Емкость СферыПотенциал сферырадиуса

Конденсаторы. Емкость Конденса-ра.

Конд-ор – система 2х проводников, имеющих одинак по велич, но противоп по знаку заряд, разделенных диэл-ком. Пров-ки - обкладки конд. Модуль заряда на одной обкладке-заряд конденсатора

Емкость конд-ра

- заряд конд-ра

- разность пот-лов между его

обкладками.

Поле 2х // Плоскостей. Поле Е₁выходит из + , а поле Е₂вхо

дит в Согл рис Поле Е вне пластины = Е=Е₁-Е₂

Поле Е между плоскостями

Е=

Если , то придем к случаю плоского конденсатора в этом случае

Е=