Формулы рекурсии

Результаты в графической форме

n	x1,i	x2,i	ti	x'1,i	x'2,i
1			t0
2			t0+h
3
..
i
..
j			t0+(j-1)h
N

Графическое представление результатов

Временная диаграмма

x₁(t)

x₂(t)

0 t

Пространство состояний

x₁

x₂

Фазовый портрет

x'₂

x'₁

x₂

x₁

Интегрирование с переменным шагом

n	x1,i	x2,i	ti	h

x₂

x₁

t

Нужно задать величину δ, что h≥ δ, а если h= δ, то переходим к h₀.

Переменная относительно N

З адается : b

, b_max

n_b

c

n_c c_max

n_a

a_max

a

Число узлов равно

Лекция №7

Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению -го порядка.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений:

.

Сведем её к одному дифференциальному уравнению второго порядка вида:

.

Как это сделать?

Представим , , .

Пусть решение будет:

,

тогда, имеем:

,

.

Где - корни, тогда решения , а общее решение , где - постоянные.

Это было в общем. Теперь подробнее. Для этого продифференцируем первое уравнение исходной системы.

,

и в него подставим значение из второго уравнения:

.

Далее выразим :

.

Откуда получим:

.

Заменим , , , , получим искомое дифференциальное уравнение второго порядка.

Аналогичные преобразования проводятся для систем более высокого порядка т.е. для системы.

.

Получим:

.

Для этого продифференцируем первое уравнение, а потом ещё раз:

,

.

Для последнего уравнения .

Решением данной системы будет , где

.

Далее принимаем и решаем.

Возможные решения, полученного уравнения.

Решение в задаче Коши

Все корни для уравнения -го порядка таковы, что , тогда:

.

Корни комплексно сопряжённые

.

Корни кратные (кратности к)

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:

Для того чтобы исследовать множество корней данного уравнения необходимо построить таблицу, где вычисляются , зависящие от т.е. , а также есть табличка параметров:

которые подбираются так, чтобы получит все случаи:

1. (( ), ( ), ( )).

2. .

3. , .

Далее строим , которая разбивается на три части по вышеуказанным пунктам.

Лекция №8

Неоднородные уравнения (дифференциальные, линейные) с постоянным коэффициентом.

(*)

Схема работы с данной системой уравнений такова:

1. Сначала сводим её к следующей форме:

.

2. Далее решение складывается из , когда (однородное уравнение) и , когда (неоднородное уравнение). Частное решение . Если представлена суперпозицией нескольких функций т.е. . Например . Тогда частное решение нашего уравнения будет состоять из частных решений .

3. Затем берем суперпозицию частных решений и получаем общее.

Как найти частное решение?

1. Если в правой части , то .

2. Если в правой части , то (получаем многочлен с известными коэффициентами).

3. Если в правой части , то можно разложить функцию в ряд и воспользоваться пунктом 2.

4. Систему (*) сведём к , где - характеристическое уравнение.

5. Если все корни различны, то , - определяется при . Если корни кратные, то см лекцию №7.