Лекция №1 2

Вводная часть 2

Лекция №2 3

Модель распространения слухов в среде людей. 4

Биологическая система «Хищник – Жертва». 4

Лекция №3 5

Задачи анализа динамических систем 5

Первая задача анализа 5

Этапы задачи формирования закона функционирования. 6

Лекция №4 7

Модель производства. 7

Что является компонентами модели производства? 7

Характеристики очереди 9

Лекция №5 9

Задача выявления динамических систем от параметров. 9

Этапы анализа динамической системы 10

Задача идентификации 11

Модель Хищник-Жертва 11

Модель Базыкина 12

Модель конкуренции 13

Модель роста фитопланктона 13

Уравнение диффузии вещества 13

Модели размножения и гибели 14

Модели распространения эпидемии 14

Лекция №6 14

Нахождение численного решения системы линейных дифференциальных уравнений. 14

Схема дискретизации 14

Четырехшаговая схема Рунге-Кутта 15

Построение модели 15

Формулы рекурсии 16

Результаты в графической форме 16

Графическое представление результатов 16

Интегрирование с переменным шагом 17

Переменная относительно N 18

Лекция №7 18

Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению -го порядка. 18

Это было в общем. Теперь подробнее. Для этого продифференцируем первое уравнение исходной системы. 19

Возможные решения, полученного уравнения. 20

Лекция №8 21

Неоднородные уравнения (дифференциальные, линейные) с постоянным коэффициентом. 21

Преобразования 21

Продифференцируем первое уравнение исходной системы. 21

Линейные, однородные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени. 22

Лекция №9 23

Фазовые плоскости динамических систем 23

Классификационная табличка корней характеристического уравнения 25

Лекция №10 26

Проект 26

Оформление проекта 26

Схема Рунге-Кутта с автоматическим шагом (схема Мерсона) 27

Лекция №1 Вводная часть

Технология — это нормативный процесс преобразования сырья в продукт. В качестве сырья и продукции выступает информация.

Под структурой подразумевается некоторое множество элементов и связи между ними.

Составляющие технологии:

• Метод

• Средства

• Нотация (язык)

Компьютерные технологии: в качестве средств используются вычислительные средства, средства коммуникаций, сети (глобальные, локальные).

Анализ — расчленение на части. Серия задач, позволяющая ответить:

• Как устроен объект?

• По каким законам функционируют процессы? (биологические, социальные, политические)

• Законы взаимодействия

• Как адаптируются системы к окружающей среде?

В узком плане задачи анализа: как анализировать наблюдения?

Качество = полнота + непротиворечивость никаким закономерностям

Система (в широком плане) — понимается образ, некоторого объекта, наше представление о нем, при чем объект обладает свойствами: он сложный или многокомпонентный.

Динамические системы (объект) ­ объект, состояние которого изменяется во времени. Мгновенное значение существенных свойств  состояние объекта.

Если в некоторый момент известное состояние системы, то тогда и известно ее состояние в будущем.

Аппарат — дифференциальные уравнения.

(*)

.

Пример

F(t) при подстановки в (*) получается верное тождество.

Лекция №2 Закон функционирования динамической системы

Поведение – это изменение состояния во времени.

Любая динамическая система подчинена определенному закону, по которому изменяются ее состояния во времени.

Структурное представление (модель) динамической системы:

,

где =(x₁,x₂,x₃,…,x_n) – вектор взаимодействий, =(y₁,y₂,y₃,…,y_n) – вектор существенных свойств, а также =(z₁,z₂,z₃,…,z_n) – вектор внутренних воздействий.

Пусть F – закон функционирования динамической системы.

Закон функционирования – это упорядоченный набор правил, осуществляющий взаимосвязь между входными и выходными данными, внешним и внутренним возмущением и поведением системы.

Изменение состояния системы на некотором интервале времени удовлетворяет заданным условиям:

,

где – вектор-параметр.

Параметры – это величины, которые характеризуют элементы динамической системы.

Пример:

1. Маятник.

– сила трения,

l – длина,

m – масса.

Модель распространения слухов в среде людей.

Существуют службы для формирования управления массами людей. Мы имеем массу людей, каждый из которых может находиться в состоянии:

• активном,

• пассивном,

• нейтральном.

Пусть Х(t) — количество активных, Y(t) — количество пассивных, тогда:

Возможные состояния:

1. =const при t= (инертное) ,

2. при ,

3. - изменяется, - изменяется при .

4. 

Решение системы:

Биологическая система «Хищник – Жертва».

V –– численность жертв,

C –– численность хищников,

f(V) –– количество жертв, потребленных хищником в единицу времени,

b –– коэффициент естественной рождаемости жертв,

d –– коэффициент естественной смертности жертв,

k –– доля потребления хищников, расход на воспроизводство,

m –– коэффициент естественной смертности хищников.

Лекция №3

Задачи анализа динамических систем

Аксиома 1: Если известно состояние динамической системы в момент времени , то тогда известно состояние динамической системы в любой момент времени .

Аксиома 2: Если известны (либо можно наблюдать) внутренние и внешние воздействия на состояние динамической системы, тогда известен (либо можно установить) закон функционирования динамической системы.

Аксиома 3: Если в момент времени задана структура динамической системы, тогда структура динамической системы неизменна для любого времени (именно такой класс динамических систем и будем изучать).