Лекция 2.

Тема лекции: Применение дифференциального исчисления

к исследованию функций.

Оглавление:

1. Возрастание и убывание функции

2. Экстремумы функции.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

4. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

5. Асимптоты кривой.

6. Схема исследования функции и построения ее графика.

Цели лекции: использовать производную для исследования функций и решения экстремальных задач

После изучения рассматриваемого материала Вы сможете исследовать функции методами дифференциального исчисления и применять эти методы для прикладных задач.

Информационные источники.

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.

Т. 1,2. М.; Наука (любое издание).

2. Лычкин В.Н.Высшая математика. Учебное пособие. РГАЗУ, 2011.

3. Лычкин В.Н.Высшая математика в задачах. Учебное пособие. РГАЗУ, 2009.

1. Возрастание и убывание функции.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема Ролля . Если функция непрерывна на отрезке

[a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принима-

ет равные значения, то есть , то на интервале (a; b) найдется по

крайней мере одна точка с , в которой производная .

Теорема Ролля имеет следующее геометри-

ческое толкование. Если кривая имеет

касательную в каждой точке интервала (a; b) и

, то на кривой найдется по

крайней мере одна точка С(c; ), в которой

касательная CD параллельна оси Ох (рис. 1).

Рис. 1

Теорема Лагранжа . Если функция непрерывна на отрезке [a; b],

дифференцируема на интервале (a; b), то на этом интервале найдется хотя

бы одна точка с, для которой выполнено равенство

или .

Теорема Лагранжа геометрически тракту-

ется так: если кривая имеет касатель-

ную во всех точках интервала (a; b), то на дуге

АВ существует по крайней мере одна точка

С(с; ), в которой касательная к этой кривой

параллельна хорде АВ (рис. 2).

Рис. 2

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда

.

Определение 1.Функция называется возрастающей на интер-

вале (а; b), если большему значению аргумента соответствует большее зна-

чение функции, то есть если а < x ₁ < x ₂<b, то .

Определение 2. Функция называется убывающей на интерва-

ле (a; b), если большему значению аргумента соответствует меньшее зна-

чение функции, то есть если a < x₁ < x₂ < b, то .

Теорема 1. (Достаточный признак возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции поло-

жительна в каждой точке интервала (a; b), то функция возрастает на этом интервале.

Доказательство. Из теоремы Лагранжа следует, что .

Произвольно выберем значения аргумента х₁ и х₂ такие, что a < x₁ < x₂ < b. Применим теорему Лагранжа для функции на отрезке [x₁; x₂] :

, где .

Так как и , то , и следовательно

. Это означает, что на рассматриваемом интервале функция возрастает.

Теорема 2. (Достаточный признак убывания функции)

Если производная дифференцируемой функции отрицательна в каждой точке интервала (a; b), то функция убывает на

тельна в каждой точке интервала (a; b), то функция убывает на этом интервале.

Доказательство аналогично приведенному выше.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

.

Решение. Для нахождения интервалов возрастания и убывания дан-

ной функции воспользуемся приведенными выше теоремами.

Продифференцируем данную функцию:

.

Определим интервалы знакопостоянства производной у′, используя

метод интервалов, по которому на числовой оси (рис. 3) отметим точки

х = 1 и х = 3, в которых производная данной функ-

ции равна нулю. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: (- ∞; 1), (1; 3), (3; ∞).

Рис. 3

В первом и третьем интервалах производная у′

положительна, поэтому функция здесь возрастает, на втором ин-

тервале у′ отрицательна и данная функция убывает.