Лекция 3.

Тема лекции: Неопределенный интеграл.

Оглавление:

1. Основные понятия.

2. Таблица основных интегралов.

3. Непосредственное интегрирование.

4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование дробной рациональной функции.

8. Интегрирование рациональных тригонометрических.

9. Интегрирование иррациональных выражений.

Цели лекции: Дать понятие неопределенного интеграла и способы их вычисления.

После изучения рассматриваемого материала Вы сможете вычислять неопределенные интегралы, использовать их в других разделах математики и специальных дисциплинах.

Информационные источники.

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.

Т. 1,2. М.; Наука (любое издание).

2. Лычкин В.Н.Высшая математика. Учебное пособие. РГАЗУ, 2011.

3. Лычкин В.Н.Высшая математика в задачах. Учебное пособие. РГАЗУ, 2009.

1. Основные понятия.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией

(первообразной) для функции f (x) на интервале (a; b), если на этом интер-

вале F′(x) = f(x).

Очевидно, что для функции f(x) ее первообразными будут функции

F(x) + C, где С – постоянная величина.

Определение 2. Совокупность первообразных F(x) + C называется

неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, то есть

.

Здесь функция f(x) подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтег-

ральным выражением, х – переменной интегрирования, С – постоянной ин-

тегрирования.

Действие вычисления неопределенного интеграла называется интег-

рированием.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой

семейство (множество) интегральных кривых F(x) + C, получаемых парал-

лельным переносом кривой y=F(x) вдоль оси Оу.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегрально-

му выражению, то есть

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой

функции, сложенной с произвольной постоянной, то есть

.

3. Неопределенный интеграл от суммы нескольких функций равен

сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций, то есть

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного

интеграла, то есть

.

2. Таблица основных интегралов.

Так как интегрирование функций обратно их дифференцированию, то каждая табличная формула производных приводит к соответствующей

формуле неопределенных интегралов, которые будем называть табличны-

ми.

(I) , где n ≠ - 1.

(II) .

(III) .

(IV) .

(V) .

(VI) .

(VII) .

(VIII) .

(IX) .

(X) .

(XI) .

(XII) .

(XIII) ,

где F(x) – первообразная для f(x).