3. Непосредственное интегрирование.

Этот метод основан на применении свойств неопределенного интег-

рала, табличных формул и тождественных преобразованиях подынтеграль-

ной функции.

Пример. Вычислить интегралы: а) ;

б) .

Решение. а) Преобразуем подынтегральную функцию, применим

свойства 3, 4 неопределенного интеграла и табличные формулы (I), (II).

б) Преобразуем подынтегральную функцию, применим свойства 3, 4

неопределенного интеграла и табличные формулы (I), (II).

.

4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Если интеграл не является табличным, не может быть вычислен методом непосредственного интегрирования, то во многих случаях его можно свести к табличным интегралам путем введения новой переменной.

Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то справедлива следующая формула:

. (1)

Этот способ интегрирования называют методом подстановки.

Часто при использовании метода подстановки используют подста-

новку .

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Чтобы данный интеграл привести к табличному, положим .

Тогда и .

Имеем

.

б) Для вычисления интеграла введем подстановку sinx = t и применим формулу (I).

Имеем cosxdx = dt .

Тогда

.

в) Сделаем подстановку , отсюда .

Найдем дифференциалы обеих частей последнего равенства:

или .

Тогда

.

г) Введем подстановку , отсюда ,

и применяем формулу (X):

.

5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный

трехчлен.

1. Рассмотрим интегралы вида .

Если выражение является производной квадратного трехчле-

на , то подстановкой интеграл сводится к табличному (II).

Если же , то в числителе подынтегральной

дроби нужно выделить производную ее знаменателя, тем самым данный

интеграл сводится к двум интегралам, один из которых вычисляется по

формуле (II), а другой – по формулам (X) либо (XI).

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим в числителе дроби производную ее знаменателя,

то есть выражение 4х – 5 и преобразуем дробь:

2. Рассмотрим интеграл вида .

Если числитель подынтегральной дроби совпадает с производной

квадратного трехчлена , то интеграл вычисляется применением

формул (IX) или (XII).

Если же , то выделением в числителе дроби производной подкоренного трехчлена интеграл сводится к вычислению двух интегралов применением формул (I), (IX) или (XII).

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим в числителе дроби производную трехчлена

, то есть −1 – 2х, преобразуем подынтегральную дробь:

.

6. Интегрирование по частям.

Пусть u= u(x) и v = v(x) – дифференцируемые по х функции.

Тогда , .

Интегрируя обе части последнего равенства, имеем

(1)

Формулу (1) называют формулой интегрирования по частям.

При применении этой формулы следует пользоваться следующими

рекомендациями.

1. Если подынтегральная функция есть произведение многочлена

степени n на показательную или тригонометрическую функцию, то за

множитель u следует принять многочлен и применить формулу интегриро-

вания по частям n раз.

2. Если подынтегральная функция является произведением много-

члена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию,

то за множитель u нужно принять логарифмическую или обратную три-

гонометрическую функцию.

3. Если подынтегральная функция есть произведение показательной

и тригонометрической функции (sinkx , coskx), то формулу (1) нужно при-

менять дважды, что приведет к уравнению относительно искомого интег-

рала.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Исходя из рекомендации 1, имеем:

u = x², dv = sinxdx, откуда du = 2xdx, .

По формуле (1) имеем:

.

Последний интеграл вычислим этим же способом, положив

u = x, dv = cosxdx, откуда du = dx, v = sinx.

Тогда

.

Имеем

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По рекомендации 2 имеем: u = arctgx, dv = xdx, отсюда

, .

По формуле (1) получаем

.