Этапы анализа динамической системы

1. Формулировка требований к решению.

2. Построение численной модели (модель Эйлера, модель Рунге-Кутта, модифицированная модель Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования).

3. Выбор языка программирования, кодирование и отладка.

4. Кодирование и отладка численной модели.

5. Выбор области значений параметров.

t0	T	h

a	b	c	d

t₀ <= t <= T

h – шаг.

a		b
a max	a min	b max	b min

N – количество точек дискретизации.

Таблица, которая имитирует поведение системы.

t	Xi		Xi+1
ti

6. Проведение эксперимента.

7. Оформление результатов проведенной работы:

   • аннотация (цель и предполагаемый результат);

   • постановка задачи исследования;

   • выбранный метод исследования;

   • аналитическое описание модели;

   • описание проведения численного эксперимента;

   • описание результата численного эксперимента;

   • анализ результата;

   • интерпретация результата и вывод.

Задача идентификации

Проблемные вопросы: Как устроена динамическая система? Из каких элементов состоит? В каких они отношениях? Какие функции они выполняют? Как функционируют?

Исходная информация данной задачи:

• объект исследования (материальный или идеальный);

• наблюденные сведения и информация об объекте исследования;

• проблема.

Что есть результат: структура объекта исследования + закон функционирования + математическая модель объекта исследования, на которой мы можем проверить все предыдущие позиции.

Модель Хищник-Жертва

X – численность жертв;

Y – численность хищников.

I.

Коэффициенты a, b, c, d характеризуют взаимоотношения между хищниками и жертвами.

II.

f(X) – количество жертв, поедаемых в единицу времени;

b – естественная рождаемость жертв;

d – естественная смертность жертв.

III.

e – коэффициент переработки биомассы жертвами;

b – коэффициент выедания;

c – коэффициент смертности хищников;

R – коэффициент роста жертв;

- периодическая функция времени, показывает, как внешние факторы влияют на прирост жертв.

Учитывая пространственно-временное расположение:

Модель Базыкина

IV.

L – ограничитель, связанный с питанием;

B – коэффициент естественной смертности хищников.

Модель конкуренции

X – внутривидовая конкуренция;

Y – межвидовая конкуренция.

а – естественное размножение.

Все коэффициенты положительные.

Модель роста фитопланктона

X – концентрация фитопланктона;

S - концентрация биогенного вещества;

M – концентрация метаболита;

а – удельная скорость роста;

p – коэффициент концентрации метаболита;

Уравнение диффузии вещества

P(X,t) – концентрация вещества в данный момент времени в данной точке пространства.

Диффузия вещества происходит так, что из мест с большей концентрацией вещества частицы перемещаются в места с меньшей концентрацией.

Скорость перемещения пропорциональна градиенту плотности.

.

Модели размножения и гибели

Имеется множество разнородных элементов. С течением времени происходит процесс, в котором каждый элемент может быть в одном из состояний: исчезнуть, размножиться или сохраниться, причем состояния описаны некоторыми законами.

Модели распространения эпидемии

При возникновении определенных условий, когда этот процесс идет, появляются самоподдерживающие процессы.

Лекция №6

Нахождение численного решения системы линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Схема дискретизации

t0	T	N	h

где h – шаг, N – число точек дискретизации.

Четырехшаговая схема Рунге-Кутта

Начальные условия:

Построение модели

Исходные данные:

a11	a12	a21	a22

x10	x20

h₁

	h	xi	k1	k2	k3	k4		xi+1(h)	xi(h2)
x1	h0	x10
x2	h0	x20

h₂

где x_i - текущее значение,

,

(x₁(h₁)-x₁(h₂))<ε.