1 Функция нескольких переменных.

Функцией переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

— множество точек плоскости.

2. Частное и полное приращение

Пусть дана  Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения.    Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением        ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y).    Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз  величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)

3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим Δх=х—х_0, Δу=у—у₀, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х₀;у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М₀(х₀;у₀).

Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной

4.) Частные производные. Функции двух переменных.

Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области D имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y₀ и z₀, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x₀); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x₀ приращение Δx, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .

Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных.