12. Теорема Вейєршрасса.

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. усть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть и . Пусть

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции соответственно. Тогда эти значения конечны ( ) и достигаются (существуют такие, что ).

13.Классические методы поиска экстремума функции одной переменной.

Дана функция y=f(x)-целевая функция. Функция одной переменной, имеющая в интервале исследования один горб (впадину) называется унимодальной. Более строго:

Определение: функция f(x), заданная на интервале a<=x<=b называется унимодальной на [a,b], если существует единственная точка x* минимума f(x), т.е. f(x*)=min F(x) {на a<=x<=b} если для любых двух точек x₁,x₂ принадлежащих [a,b] выполняется соотношение:

-из неравенств x₁<x₂<=x* следует f(x₁)>f(x₂);

-из неравенств x₂>x₁=>x* следует F(x₁)<F(x₂).

Необходимое условие минимума (максимума) функции f(x) в точке x*.Необходимые условия того, что x* является точкой локального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции f на открытом интервале (a,b) выражаются следующими соотношениями:

1) f_x|_x=x* =0, 2) f_xx|_x=x* => 0 (<=0)

Определение: стационарной точкой называется точка x*, в которой f_x|_x=x* =0. Если стационарная точка не соответствует локальному оптимуму (минимуму или максимуму), то она называется точкой перегиба, или седловой точкой.

Достаточные условия экстремума. Пусть в точке x* первые (n-1) производные функции обращаются в нуль, а производная порядка n отлична от нуля.

(1)Если n-нечетное, то x*-точка перегиба.

(2)Если n-четное, то x*-точка локального оптимума. Кроме того,

(а) если эта производная положительная, то x*-точка локального минимума

(б) если эта производная отрицательная, то x*-точка локального максимума

14. Класичний метод знаходження екстремумів функції однієї змінної.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство то точка М₀ называется точкой максимума. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство то точка М₀ называется точкой минимума. Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой. Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1. Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2. Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.