§2 Способы решения задач на экстремумы

Различны и многообразны приёмы и методы решения задач на экстремумы, как аналитические (перебора, оценки, неравенств и др.) так и геометрические (преобразование плоскости, оценка, перебор…). Каждый метод по-своему уникален и неповторим. Эти приёмы можно отнести к элементарным, т.к. они не предполагают применения математического анализа, а ограничиваются алгебраическим или геометрическим подходом к решению задачи на экстремум. Каждый их таких элементарных приемов является мостиком к решению не большого класса задач на экстремум, но методически для нас важен тем, что актуализирует знания учащихся из области алгебры или геометрии. Кроме того, применение этих методов для ряда задач будет более рационально, чем использование инструментов математического анализа, ибо незачем "стрелять из пушки по воробьям".

В отличии от элементарных приёмов, использование производной даёт нам метод действительно универсальный. Который можно применять для решения всего этого широкого спектра задач.

2. Деякі старовинні екстремальні задачі.

ДРЕВНЕЙШАЯ ЗАДАЧА — ЗАДАЧА

ДИДОНЫ

Столько купили земли и дали ей имя Бирса,

Сколько смогли окружи ть бычьей шкурой.

Вергилий. Энеида

Прекраснейшим тело м является шар, а прекрасне й-

шей плоской фигурой — круг.

Пифагор

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Эту задачу и называют задачей Дидоны или классической изопериметрической задачей. (Изопериметрические фигуры — это фигуры, имеющие одинаковый периметр.)

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА

По об е стороны от места наибольше го значения уб ывание вначале нечувстви тельно. И. Кеплер

БРАХИСТОХРОНА

Если начальная и конечная точки движения одинаковы, то поскольку прямая есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движ ение, совершающееся по ней, требует наименьшего времени. На самом деле это не так.

Г. Галилей

Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют точно по ставленные проблемы для продвижения математической науки.

Д. Гильберт

3. Основні етапи розв’язування екстремальних задач.

Решение задач на экстремумы проходит в два этапа:

- на первом этапе текст задачи переводится на математический язык в виде функции, которая допускает много или бесконечно много решений;

- на втором этапе по тем или иным признакам, определяется какое из решений задачи наиболее выгодно.

4. Постановка задачі оптимізації та основні поняття.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^* , который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

1. Допустимое множество — множество ;

2. Целевую функцию — отображение ;

3. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

1. Показать, что .

2. Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

3. Найти .

4. Если , то найти .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.