Статистическая вероятность.

Пусть проводится целая серия одинаковых и независимых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить некоторое событие A.

Если в серии из n испытаний событие А наступает раз, то число называют частотой события А, а отношение называют относительной частотой события А.

В сериях из большого количества испытаний относительная частота колеблется в тесных пределах (так называемое свойство устойчивости частот). Это и позволяет использовать статистический подход к определению вероятности, заключающийся в том, что под вероятностью события А понимают число, около которого колеблется наблюдаемая относительная частота события А.

Пример 3.

Французский испытатель Бюффон бросал монету 4040 раз, при этом решка выпала 1992 раза. Английский математик Карл Пирсон бросал монету 24000 раз, решка выпала 11988 раз. Относительная частота выпадения решки в первом случае равна во втором Полученный результат подтверждает предположение о том, что вероятность выпадения решки при одном бросании равна 0,5.

Задачи для аудиторного занятия.

№ 4.1 После бури на участке между 20-м и 40-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Найти вероятность того, что разрыв произошел между 30-м и 35-м километрами линии.

№ 4.2 Внутрь круга радиуса r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг правильного треугольника.

№ 4.3 В шаре радиуса R помещен меньший шар радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший шар, попадет также и в малый шар.

№ 4.4 Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 10 см. На плоскость наудачу брошена монета радиусом 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 4.5 Монета радиусом R случайным образом брошена на пол, вымощенный квадратным паркетом. Длина стороны квадрата l; (l>2R). Найти вероятность того, что монета окажется лежащей внутри некоторого квадрата.

№ 4.6 Два человека будут находиться в определенном месте между 10 и 11 часами. Каждый из них проведет там 20 минут. Какова вероятность того, что они встретятся, если приход каждого человека в течение указанного часа может произойти в любое время?

№ 4.7 Найти вероятность того, что произведение двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превышает 1/3.

№ 4.8 Из 50 выстрелов по цели было 43 попадания. Найти относительную частоту попаданий в цель.

№ 4.9 Установлено, что относительная частота всхожести семян равна 0,95. Какое количество семян из 200 высаженных может дать нормальные всходы?

Задачи для самостоятельного решения.

№ 4.10 Отрезок АВ разделен точкой С так, что АС:СВ=2:3. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, попадет на отрезок СВ.

№ 4.11 Внутрь круга радиусом r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг квадрата.

№ 4.12 На плоскость, которая разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 4.13 Найти вероятность того, что сумма двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 3, не превышает 4.

№ 4.14 Рабочий обслуживает 2 станка. Каждый из них требует внимания рабочего в течение 10 минут за один час. Найти вероятность того, что в течение часа один из станков потребует внимания рабочего в то время, когда он занят другим станком.

№ 4.15 Точка (c;q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1). Найти вероятность того, что уравнение x²+cx+q=0 имеет два действительных корня.

№ 4.16 Стержень длины l разломали случайным образом на три части. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

№ 4.17 При проверке качества изделий из 200 проверенных было обнаружено 10 бракованных. Найти относительную частоту появления брака.