§6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теория и примеры.

Часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти только вместе с одним из несовместных событий H_i, образующих полную группу событий. События H_i в этом случае называют гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез , равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Предположим, что в результате опыта уже произошло событие А. Требуется определить с каким из событий событие А наступило. Условные вероятности гипотез вычисляют по формуле Байеса:

Пример 1.

Два работника изготавливают одинаковые детали. Более опытный изготавливает 60% всех деталей, менее опытный изготавливает 40% всех деталей. Вероятность того, что деталь будет стандартной, если ее изготовил более опытный работник 0,95. Вероятность того, что деталь будет стандартной, если ее изготовил менее опытный работник 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь оказалась стандартной.

Решение.

Введем гипотезы:

H₁ − деталь изготовлена более опытным работником;

H₂ −деталь изготовлена менее опытным работником.

Вероятности гипотез равны: P(H₁)=0,6, P(H₂)=0,4.

Введем событие А − извлеченная наудачу деталь оказалась стандартной.

Вероятность того, что деталь стандартна, если изготовлена более опытным работником, равна

P(A|H₁)=0,95.

Вероятность того, что деталь исправна, если изготовлена менее опытным работником, равна

P(A|H₂)=0,85.

Искомая вероятность P(A) по формуле полной вероятности равна:

.

Пример 2.

В условиях примера 1 взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь была изготовлена более опытным работником.

Решение.

Требуется найти условную вероятность того, что деталь изготовлена более опытным рабочим при условии, что она стандартна, то есть требуется найти вероятность P(H₁|A).

Воспользуемся формулой Байеса:

;

.

Задачи для аудиторного занятия.

№ 6.1 В тире 6 винтовок, 4 снабжены оптическим прицелом. Стрелок наудачу выбирает винтовку. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки без оптического прицела 0,72. Найти вероятность попадания в цель.

№ 6.2 Имеются 3 партии изделий: 25% − изделия первой партии, 40% − изделия второй, остальные − изделия третьей партии. Вероятность того, что изделие без дефекта, для первой партии равна 0,8, для второй – 0,85, для третьей – 0,9. Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие оказалось без дефекта.

№ 6.3 На рисунке схема дорог. Туристы вышли из пункта О, наугад выбирая на разветвлении дорог один из путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?

№ 6.4 На стоянке 2 машины. Подъезжает третья − легковая. Найти вероятность того, что первая отъехавшая машина − легковая, если равновозможны все предположения о первоначальных машинах.

№ 6.5 Имеются 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие − брак. Одно изделие из первой партии переложили во вторую. После чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность того, что извлечено бракованное изделие.

№ 6.6 По условию задачи 6.1 определить вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с оптическим прицелом, если цель была поражена.

№ 6.7 По условию задачи 6.2 определить вероятность того, что извлеченное изделие оказалось из третьей партии, если известно, что оно без дефекта.

№ 6.8 Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен, 3 человека (отличники) знают все 20 вопросов, 4 человека (хорошисты) знают 16 вопросов, 2 человека (троечники) знают 10 вопросов, 1 человек (двоечник) знает 5 вопросов. Студенту предложили 3 вопроса, на которые он ответил. Какова вероятность того, что он отличник?