Операции над событиями.

С уммой двух событий A и B называется

событие С состоящее в появлении события А, или события В, или обоих

этих событий. Обозначается: .

На рис. 1.1 дана геометрическая иллюстрация суммы двух совместных событий, где и пересекающиеся мишени.

Замечание 1. Если два события и н есовместны, то событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

На рис. 1.2 и - непересекающиеся мишени. Сумма событий – попадание в любую мишень.

З амечание 2. Сумма событий, образующих полную группу, рана достоверному событию: .

Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещение) этих событий. Обозначается .

На рисунке 1.3 произведение показано как область принадлежащая обеим пересекающимися мишенями.

Замечание 3. Произведение несовместных событий есть невозможное событие . Для попарно несовместных событий , если .

Замечание 4. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия:

1) - сумма есть достоверное событие, т. е. противоположные события в сумме дают все пространство элементарных событий;

2) - произведение есть невозможное событие.

Разностью двух событий называется событие , состоящее в появлении события , но не появлении события . Обозначается .

На рисунке 1.4 событие показано как область, принадлежащая только мишени (двойная штриховка).

Пример 2.

, , – события, которые могут появиться в результате испытания.. Выразить через , , следующие события:

− произошло только А₁;

− произошло только одно из данных событий;

− произошли только два из данных событий;

− произошли все три события;

− произошло не менее двух из данных событий;

– ни одно из данных событий не произошло;

– произошло хотя бы одно из данных событий.

Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечёт наступление другого.

Решение.

Событие заключается в том, что произошло только _, а значит, не произошли события и (то есть произошли и ), следовательно,

Событие заключается в том, что произошло или только событие , или только событие , или только событие , следовательно,

.

Событие заключается в том, что произошли два какие-то события, то есть или события и ( но не произошло), или и (но не произошло), или и (но не произошло)_, следовательно,

Событие заключается в том, что произошло событие , и событие , и событие , поэтому

Событие заключается в том, что произошли два или три события, следовательно,

Событие заключается в том, что не произошло событие , и не произошло событие , и не произошло событие , следовательно,

Событие заключается в том, что произошло одно событие, или два события, или три события, следовательно,

Еще один способ представления события основан на том, что события , , , образуют полную группу событий:

, откуда . Событие - «произошло хотя бы одно из данных событий» и - «не произошло ни одно из данных событий» являются противоположными, т. е. , поэтому

.

Такое представление события окажется удобным в дальнейшем при вычислении вероятностей событий (см. §4, пример 2).

Несовместными являются события:

А и С, А и D, А и E, А и F, B и С, B и D, B и E, B и F, C и D, C и F, E и F, F и G.

Укажем пары событий, среди которых одно влечет наступление другого: