Задачи для самостоятельного решения.

№ 6..9 В коробке находится 20 деталей 1-го сорта, 16 деталей 2-го сорта. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 1-го сорта, равна 0,05. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 2-го сорта, равна 0,2. Наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что она отличного качества.

№ 6.10 В специализированную больницу поступают в среднем 60% больных с заболеванием K, 40% − с заболеванием L, 20% − с заболеванием M. Вероятности полного излечения болезней K, L, M соответственно равны 0,5, 0,8, 0,7. Найти вероятность того, что поступивший в больницу больной будет выписан здоровым.

№ 6.11 В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара. После этого из второй урны берут 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

№ 6.12 По условию задачи 2 определить вероятность того, что поступивший в больницу больной страдал заболеванием L, если известно, что он выписался здоровым.

№ 6.13 В семье три человека: мама, папа, сын. В будние дни посуду моет мама. На выходных папа и сын делят работу поровну. Вероятность того, что мама что-то разобьет при мытье посуды, равна 0,007. Вероятность того, что папа что-то разобьет, равна 0,049. Вероятность того, что сын что-то разобьет, равна 0,035. Была обнаружена разбитая тарелка. Найти вероятность того, что ее разбил папа.

№ 6.14 Студент выучил не все вопросы экзаменационных билетов. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него меньше: при вытаскивании билета первым или последним?

§7. Повторение испытаний. Теория и примеры.

Пусть проводится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может быть зафиксировано наступление или не наступление некоторого события А. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна, равна р и не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний. Тогда вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна .

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит k раз в произвольной последовательности вычисляется по формуле:

,

если и р существенно отличается от 0 и 1.

Формула носит название формулы Бернулли.

При большом числе испытаний использование формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям, поэтому в таких ситуациях пользуются приближенными формулами Муавра-Лапласа или формулой Пуассона.

Локальная приближенная формула

Муавра-Лапласа:

, где

,

Обычно этой формулой пользуются в случае, если (n достаточно велико, р по-прежнему отлично от 0 и 1). Найденное значение тем точнее n.

Замечание 1. Функцию можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 1), где помещены значения функции для неотрицательных х. Значения функции для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что является четной функцией: .

Интегральная приближенная формула

Муавра-Лапласа:

, где

,

Таким образом, интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа позволяет находить вероятность того, что в n испытаниях число наступлений некоторого события находится между k₁ и k₂ при условии, что n велико; .

Замечание 2. Функцию также можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 2), где помещены значения функции для неотрицательных х. Значения функции для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что является нечетной функцией: . При можно принять .