Элементы комбинаторики. Теория и примеры.

При определении общего числа элементарных исходов в испытании и числа исходов, благоприятствующих интересующему событию, часто применяют формулы комбинаторики.

Комбинаторика подсчитывает количество соединений, которые можно получить из конечного множества различных между собой предметов (элементов). Наиболее употребительными являются рассмотренные ниже виды соединений.

Перестановками называют комбинации, состоящие из n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок:

, где

; .

Размещениями без повторений называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех размещений без повторений:

.

Принимается, что .

Размещениями с повторениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число всех сочетаний:

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности m способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример 1. Даны элементы а, b, c. Найти все перестановки, размещения без повторения, размещения с повторением и сочетания из 3-х элементов по 2.

Решение.

Перестановки из 3-х элементов: (a,b.c), (a,c,b), (b,c,a), (b,a,c), (c,a,b), (c,b,a) Число всех перестановок 3 элементов:	Размещения без повторений из 3 по 2: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b) Число всех размещений без повторений из 3 по 2:
Размещения c повторениями из 3 по 2: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), (a,a), (b,b), (c,c) Число всех размещений с повторениями из 3 по 2:	Сочетания из 3 по 2: , , Число всех сочетаний из 3 по 2:

Пример 2.

Из горда А в город В ведут пять дорог, из В в С – три дороги. Сколькими способами можно попасть из А в С?

Решение.

По правилу произведения .

Пример 3.

Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу, в которую войдут офицер и четыре солдата, если имеется 3 офицера и 12 солдат?

Решение.

Офицера можно выбрать тремя способами, а 4 солдата из 12 можно выбрать способами. По правилу умножения:

.

Пример 4.

В радуге 7 цветов. Сколько можно получить различных «полосатых» рисунков?

Решение.

Число вариантов равно числу размещений из 20 по 3:

.

Пример 6.

Сколько можно составить четырехзначных чисел?

Решение.

Всего цифр 10, но число не может начинаться с нуля.

Сначала выбирается первая цифра – для разряда тысяч. Таких цифр 9 (от 1 до 9). Затем составляется комбинация из трех цифр – для разрядов сотен, десятков и единиц. Эти цифры могут быть любые, в том числе и повторяющиеся. Число комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 по 3: .

Общее количество четырехзначных чисел равно .