Приближенная формула Пуассона:

, где

Формулой Пуассона пользуются при анализе массовых (n велико), редких событий, если можно допустить, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний остается неизменным.

Пример 1.

Стрелок делает 4 независимых выстрела по мишени, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,8. Найти вероятности следующих событий:

В – стрелок попал в мишень один раз,

С – стрелок попал в мишень два раза.

Решение.

Введем события А_i – стрелок попал в мишень при i-том выстреле, где .

По условию , следовательно,

Выразим через события В и С через А_i :

;

.

Видим, что события В и С, состоят из ряда сложных несовместных событий, каждое из которых представляет собой произведение независимых элементарных событий и .

Найдем вероятности событий В и С:

.

.

Замечание 3.

При вычислении вероятности события В получены одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует 0,8. Это показывает, что в одном из четырех испытаний произошли события А_i, вероятности которых постоянны и равны 0,8. Присутствие (0,2)³ показывает, что в оставшихся трех испытаниях произошли события . Всего таких слагаемых 4, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать одно, в котором произойдет событие А_i, то есть равно числу сочетаний из четырех по одному ( ).

Аналогично при вычислении вероятности события С получили одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует (0,8)² (это показывает, что в двух из четырех испытаний произошли событие А_i), и (0,2)², (это показывает, что в оставшихся двух испытаниях произошли события ). Всего таких слагаемых 6, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать два, в которых произойдет событие

А_i, то есть равно числу сочетаний из четырех по два ( ).

С учетом Замечания вероятности событий В и С могут быть найдены гораздо быстрее, если применить формулы Бернулли:

;

Пример 2.

Вероятность некоторого события в каждом испытании постоянна и равна 0,75. Найти вероятность того, что это событие в 192 испытаниях наступит 1) 150 раз, 2) 135 раз, 3) не менее 135 и не более 150 раз.

Решение:

По условию , . Величина .

Воспользуемся приближенными формулами Муавра-Лапласа.

1) Найдем х и по таблице для :

.

Тогда .

2) Найдем х и по таблице для :

.

Тогда .

1. По таблице находим:

, .

.

Задачи для аудиторного занятия.

№ 7.1 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что из 6 выстрелов будет 4 попадания.

№ 7.2 Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 10 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно выбранных для походов 5 дней

1) 3 дня окажутся дождливыми;

2) не более 2-х дней окажутся дождливыми;

3) не менее 3-х дней окажутся дождливыми;

4) не меньше 2-х и не больше 3-х дней окажутся дождливыми.

№ 7.3 Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): одну партию из двух или две партии из четырех?

№ 7.4 Отрезок EF разделен точкой K в отношении 3:1. На этот отрезок наудачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки K, а три правее.

№ 7.5 Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 1/4. Найти вероятность того, что событие А наступит в 243 испытаниях:

1) ровно 70 раз;

2) ровно 50 раз.

№ 7.6 Вероятность всхода семени равна 0,8. Найти вероятность того, что из 400 семян прорастут:

1) не менее 300 и не более 360 семян;

2) не менее 300 семян;

3) не более 299 семян.

№ 7.7 Устройство состоит из 250 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого изделия равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени откажут:

1) ровно 3 изделия;

2) менее 3-х изделий;

3) более 3-х изделий;

4) хотя бы одно изделие.