Прямая в пространстве

О

М

Пусть в пространстве дана . Возьмем направляющий вектор этой прямой. Рассмотрим две точки . Отметим, что и -это радиус-векторы точек и соответственно. Поскольку и лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что

(1) параметрическое уравнение прямой в векторной форме .

Т.к.

, то

(2) параметрическое уравнение прямой в координатной форме

направляющий вектор прямой .

Выражая из формулы (2) параметр t в каждом уравнении получим:

(3) канонические уравнения прямой

Замечание: переход от канонических уравнений к параметрическим осуществляется следующим образом:

Приравнивая к параметру t поочередно каждое равенство (соотношение), получим параметрические уравнения прямой.

Тогда в качестве

(4) уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть задана, как линия пересечения двух плоскостей и

(5)

В этом случае переход к каноническим или параметрическим уравнениям осуществляется так:

1)Для нахождения направленного вектора прямой находим:

2)чтобы найти точку, лежащую на прямой, одну из координат берут равную нулю и подставляем в формулу (5). Решают полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными и получают точку . В том случае, если полученная система уравнений будет несовместна, то берут =0 другую координату.

Пример: привести к параметрическому виду уравнение прямой:

1) =

m=37,n=18,p=5.

2)z=0:

x=2-4y

4-8y+3y+7=0

y=2,2

x=-6,8

Взаимное расположение прямых

Пусть прямые и заданы своими каноническими уравнениями:

Возможны следующие случаи расположения прямых:

1 )

2)

3) -компланарны

Точка пересекающихся прямых находится путем решения системы уравнений, состоящих из уравнений этих прямых, а угол между прямыми- это их угол между направленными векторами:

Тогда

4)

В этом случае определитель не равен нулю. Для нахождения расстояния между и необходимо провести плоскость через одну из этих прямых, параллельную другой прямой и найти расстояние от произвольной точки второй прямой до построенной плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть задана своими каноническими уравнениями, а плоскость своим общим уравнением:

1)

Аm+Вn+Сp=0-условие параллельности прямой и плоскости

2 )

3 )

Для того чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости необходимо записать уравнение прямой в параметрическом виде и подставить вместо х,у,z в уравнение плоскости. Найти из полученного уравнения параметр t и подставить в параметрические уравнения прямой. Полученные координаты х,у,z будут являться координатами точки пересечения прямой и плоскости.