Матрицы. Операции над матрицами.
Матрица-таблица из чисел и имеет вид:
А=
Элементы матрицы А=(аij), i=1,m;j=1,n.
Также как в определителе i-номер строки, j-столбец, на пересечении которых расположен элемент аij.Данная матрица содержит m-строк и n-столбцов, поэтому говорят, что А:mхn.
М
атрица,
для которой m≠n-прямоугольная.
Если m=n, то
матрица А-квадратная.
Для квадратных матриц существует определитель n-ого порядка, порожденный этой матрицей. Если матрица А-прямоугольная, то не существует определителя, порожденного данной матрицей в целом. Однако, если в прямоугольной матрице вычеркнуть k-строк и k-столбцов, то мы получим определитель K-ого порядка, порожденной этой матрицей А.
Пример:
А=
2 1
3 2
2 1 -4
3 2 0
1 2 -1
∆2= ;; ∆3= =-4-24+8+3= -17≠ 0
r(А)=3
Определение: рангом матрицы А обозначается rang A или r(A)
Rang A называется порядок наибольшего не равного нулю определителя порожденного этой матрицей.max r(A) размерности mxn=min‹m,n›
Виды матриц
1)Квадратная (m=n)
2)Прямоугольная (m≠n)
3)Матрица-строка А=(а11а12…а1n)
4)Матрица-столбец А=
5)Единичная Е=
nxn
6)Нулевая
nxn
7)Если все элементы квадратной матрицы А, стоящие выше (ниже) главной диагонали=0, то матрица А называется нижней треугольной (верхней треугольной) квадратной матрицей.
А=
8)Пусть матрица А:mxn, если поменять местами строки и столбцы этой матрицы, то получится транспонированная матрица.
Ат .Сама операция- транспонированием.
Операции над матрицами.
Размерности матриц должны совпадать
1)Сложение
А =(аij) i=1,m; j=1,n.
В =(вij) i=1,m; j=1,n.
А +В=(аij+вij) 1,m; j=1,n.
Свойства
А)Коммуникативная А+В=В+А
Б)Ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С)
2)Вычитание:
Рассмотрим матрицу А и В пункта 1.
А -В=(аij-вij) 1,m; j=1,n.
Сложение и вычитание матриц осуществляется поэлементно:
3)Умножение матрицы на число
А =(аij) i=1,m; j=1,n.
Д ля того чтобы умножить матрицу А на kA=(kаij) i=1,m; j=1,n.
Свойства:
а)(k+p)A=kA+pA
б)k(A+B)=kA+kB
4)Умножение матриц.
Для того чтобы АхВ необходимо и достаточно, чтобы число столбцов А совпадало с числом строк матрицы В.
А)АВ≠ВА
Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (коммутативными)
Б)А(В+С)=АВ+АС
В)ӨА=АӨ=Ө
Г)А(ВС)=(АВ)С
Если все условия выполнены и матрица С=АВ, то
Сij=
аikвkj
С=(сij)
Пример:
=
5)Степени матриц.
А2=АА;А:nxn.
А3=ААА
.......................
Аn=(А)n-раз
Степени только для квадратных матриц.
Обратная матрица.
Пусть дана кв.матрица А:nxn.Говорят, что А- является вырожденной, если определитель порожденной этой матрицей=0.Соответсвенно,если detА≠0, то А-невырожденная матрица.
Пусть дана невырожденная квадратичная матрица А.Если В такая, что В:АВ=ВА=Е, то говорят, что матрица В обращенная матрица к А и обозначают В=А-1.
Матрицы А и В называют взаимообратными.
Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и только одну.