Список литературы:

1)Бугров Е.С. Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

2)Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

3)Зубрина Л.Г. Тоникарова Н.Ю. Линейная алгебра с приложениями к аналитической геометрии.

Определители. Свойства определителей.

Определитель 1 порядка- это число.

Назовем определитель второго порядка

∆=а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁=

а_ij-элемент определителя

i-номер строки

j-номер столбца

Определителем 3-го порядка называется число ∆ обозначающее:

∆= =а₁₁а₂₂а₃₃+а₂₁а₃₂а₁₃+а₁₂а₂₃а₃₁-а₁₃а₂₂а₃₁-а₃₂а₂₃а₁₁-а₂₁а₁₂а₃₃

Диагональ, содержащая элементы а₁₁а₂₂а₃₃ называется главной диагональю определителя.

Диагональ, содержащая элементы а₁₃а₂₂а₃₁ называется побочной диагональю определителя.

Метод треугольника

о о о

о о о

о о о

о о о

о о о

о о о

Правило Саррюса

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂

Минор. Алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка.

Минор (М_ij)- называется определитель, полученный вычеркиванием из исходного определителя i-строки и j-столбца.

Примечание. Очевидно, что минор имеет порядок на единицу меньшей, чем порядок исходного определителя.

Пример:

1 3 -3

0 2 -1

2 2 -6

3 -3

2 -6

М₂₁=

.Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется А_ij=(-1)^i+j.М_ij

Пример:

2 -1

3 4

А₁₂=(-1)^1+2.3= -3

2 -1 0

1 4 2

3 5 -7

2 -1

3 5

А₂₃(-1)²⁺³ = -13

Определителем n-го порядка называется число ∆ =

а₁₁ а₁₂…а_1n

а₂₁ а₂₂…а_2n

а_n1 а_n2…а_nn

∆=

Основные свойства определителей

Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то определитель не изменится.

а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂

а₁₁ а₂₁

а₁₂ а₂₂

1 ) =

2) Если в определителе поменять местами две любых строки (столбца), то определитель поменяет знак на противоположный.

3)Если в определителе содержится две пропорциональные, в том числе равные строки (столбца), то он=0

4)Для того чтобы умножить определитель на некоторое число, необходимо любую одну строку (столбец) умножить на это число.

5)Если каждый элемент определителя равен сумме некоторых чисел, то и сам определитель будет = сумме определителей.

а₁₁+в₁₁ a₁₂+в₁₂

а₂₁+в₂₁ а₂₂+в₂₂

а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂

в₁₁ в₁₂

в₂₁ в₂₂

= +

6)Определитель = сумме произведений элементов любой своей строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример:

2 1 -1

-3 2 1

1 2 -2

2 1

2 -2

-3 1

1 -2

-3 3

1 2

= 2(-1)¹⁺¹ ++1(-2)¹⁺² +(-1)(-1)¹⁺³ =2(-4-2)-(6-1)-(-6-2)=-9

7)Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца)=0.

8)Если к элементам любой строки (столбца) определителя прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

На свойствах 6 и 8 основан принцип вычисления любого определителя, порядок которого превышает третий.

Пример:

2 1 0 4

-3 2 1 2

1 6 -1 2 +№2

3 2 2 -4 -2№2

2 1 0 4

-3 2 1 2

-2 8 0 4

9 -2 0 -8

2 1 4

-2 8 4

9 -2 -8

= =1(-1)²⁺³ =-(-128+16+36+36-288+16-16)=364

9)Произведение определителей есть определитель, причем такого же самого порядка, что и сомножителей.